第3章  集合与关系

 

集合在中学已经学习过，而且在高等数学的学习过程中也曾遇到，这里只是多了一个幂集的概念，着重对幂集合的理解，一是掌握幂集合的构成，二是幂集合的元数为2n,其中n是集合的元数。

 

一、基本要求

       1. 理解集合、元素、全集合、空集合、集合的元数和幂集等概念。

2. 理解集合的包含、子集和相等等概念，熟练掌握集合的表示方法和集合的并、交、补、差和对称差等运算，会用文氏图表示集合的各种运算。

3. 掌握集合运算的基本规律，掌握用集合运算基本规律证明集合恒等式的方法。

4. 了解有序对和笛卡儿积的概念，会作笛卡儿积的运算。

    本章重点：集合概念，集合的运算，集合恒等式的证明。笛卡儿积。

 

       二、学习辅导

       本章重点辅导四个问题：集合的概念，集合的运算，集合集合恒等式的证明和笛卡儿积。

       1. 集合的概念

       有如下知识点：

    ·集合，元素，集合的元数；

       ·集合的表示方法：列举法和描述法；

       ·特殊集合：全集合E，空集合Æ，

       ·集合的关系：包含，子集，集合相等，幂集。

       在集合概念部分要特别注意：元素与子集，子集与幂集，Î与Ì(Í)，空集Æ与所有集合等的关系。

 

       例3.1 已知S＝{2,a,{3},4},R={{a},3,4,1},指出下列命题的真值。

       (1) {a}ÎS;                (2) {a}ÎR;

(3) {a,4,{3}}ÍS;           (4) {{a},1,3,4}ÍR;

(5) R=S;                  (6) {a}ÍS;

(7) {a}ÍR;                (8) ÆÌR;

(9) ÆÍ{{a}}ÍR;           (10) {Æ}ÍS;

(11) ÆÎR;                (12) ÆÍ{{3},4}.

       解 集合S有四个元素组成：2，a，{3}，4，而元素{3}又是集合。集合R类似。

       (1) {a}，这是单元素的集合，{a}不是集合S的元素。故命题A：{a}ÎS的真值为0；

       (2) {a}是R的元素，故命题B：{a}ÎR的真值为1。

       (3) a,4,{3}都是集合S的元素，它们可以构成S的子集。故命题C：{a,4,{3}}ÍS的真值为1．

       (4) {a}，1，3，4都是R的元素，它们可以构成R的子集，故命题D：{{a},1,3,4}ÍR的真值为1。

       注意：列举法表示的集合的元素，把所有元素全列出来，放在圆括号内，在圆括号内的顺序可任意。

       (6)和(8)，(9)和(12)相应题号的命题，其真值为1；而(5)，(7)，(10)，(12)相应题号的命题，其真值为0。

 

       例3.2 设A＝{=,Î,Ï,Ì, É}选择适当的符号填在各小题的横线上。

       (1)  (1,2,3,4)      N;                   (2)

       (3)   (4)

       (5)                     (6) {正方形}     {菱形}      {四边形}

       (7) {(1,2,3)}         {1,2,3,{(1,2,3)}}

       解 (1) Ì     (2) Ï, É     (3) Ì  ,  =          (4) Ì      (5) Î, Ì     

        (6) Ì   Ì        (7) Î

 

       例3.3 列出下列集合的子集：

       (1) A={a，{b}，c}

(2) B={Æ}

(3) C=Æ

       解 (1)因为Æ是任何集合的子集，所以Æ是集合A的子集；由A的任何一个元素构成的集合，都是A的子集，所以{a}，{{b}}，{c}是A的子集；由A的任何两个元素构成的集合，都是A的子集，所以{a，{b}}，{{b},{c}}，{a, c}是A的子集；由A的任何三个元素构成的集合，都是A的子集，所以{a，{b}，c}=A是A的子集；于是集合A的所有子集为

       Æ，{a}，{{b}}，{c}，{a，{b}}，{{b},{c}}，{a, c}，{a，{b}，c}=A

       (2) 同(1)，B的子集有：Æ，{Æ}。

       (3) 因为Æ是任何集合的子集，故Æ也是C的子集。因为C中没有元素，因此C就没有其它子集，所以C的子集只有：Æ。

说明：

(1) 以集合A的8个子集为元素的集合，就是集合A的幂集，即

              P(A)={ Æ，{a}，{{b}}，{c}，{a，{b}}，{{b},{c}}，{a, c}，{a，{b}，c}}

那么集合B的幂集为；P(B)={Æ,{Æ}};集合C的幂集：P(C)={Æ}。

一般地，如果集合A，有那么P(A)有2n个元素。

(2) 根据真子集的定义，对于任何集合A，除了集合A本身不是A的真子集外，其它子集均是A的真子集。于是本例

集合A有7个真子集：Æ，{a}，{{b}}，{c}，{a，{b}}，{{b},{c}}，{a, c}

集合B只有1个真子集：Æ

集合C没有真子集。

 

2. 集合的运算

       集合的运算有并、交、补、差、对称差，当然应该很好地掌握。由这些运算，派生出10条运算律(即运算的性质)，即交换律、结合律、分配律、幂等律、同一律、零律、补余律、吸收律、摩根律和双补律等。

       集合的运算部分有三个方面的问题：其一是进行集合的运算；其二是集合运算式的化简；其三是集合恒等式的推理证明。

       集合恒等式证明的目的有两个，一是通过证明的练习，加深对集合性质和第1章命题公式基本等值式的理解和掌握；一是为第8章学习布尔代数中部分性质的应用打下良好的基础。

       集合恒等式的证明方法通常有二：其一，要证明A＝B，就需要证明AÍB；在证明AÊB。

其二，通过运算律进行等式推导。   

 

       例3.4设集合A＝{1,2,3,4},B={2,3,5},求。

 

       解

             

 

       例3.5 试证A－(B－C)＝(A－B)È(AÇC)

       证明  [方法1]

       对任意x，

      

       同理，有

      

所以，A－(B－C)＝(A－B)È(AÇC)

       说明：事实上，方法1的证明，完全是等值过程，可以写作

             

       [方法2] 进行恒等推导。

              A－(B－C)＝

        

     =(A－B)È(AÇC)

 

       例3.6 化简

       解 

              ＝

              ＝

 

       3. 有序对与笛卡儿积

       有序对就是有顺序的数组，如<x,y>，x,y 的位置是确定的，不能随意放置。

       注意：有序对<a，b>¹<b,a>，以a,b为元素的集合{a,b}={b,a}；有序对(a,a)有意义，而集合{a,a}不成立，因为它只是单元素集合，应记作{a}。

       笛卡儿积是一种集合合成的方法，把集合A，B合成集合A×B，规定

       A×B＝{<x,y>½xÎA,yÎB}

由于有序对<x,y>中x,y的位置是确定的，因此A×B的记法也是确定的，不能写成B×A。

       h笛卡儿积也可以多个集合合成，A1×A2×…×An。

       h笛卡儿积的运算性质。

 

       例3.7 设集合 A={a,b},B={1,2,3},C={d},求A×B×C，B×A。

       解 先计算A×B＝{<a,1>,<a,2>,<a,3>,<b,1>,<b,2>,<b,3>}

              A×B×C＝{<a,1>,<a,2>,<a,3>,<b,1>,<b,2>,<b,3>}×{d}

                      ＝{<<a,1>,d>,<<a,2>,d>,<<a,3>,d>,<<b,1>,d>,<<b,2>,>,<<b,3>,d>}

                  B×A＝{<1,a>,<2,a>,<3,a>,<1,b>,<2,b>,<3,b>}

 

    例3.8 设集合A＝{1,2},求A×P(A)。

解 P(A)={Æ,{1},{2},{1,2}}      

       A×P(A)＝{1,2}×{Æ,{1},}{2},{1,2}

                     ={<1,Æ>,<2,Æ>,<1,{1}>,<2,{1}>,<1,{2}>,<2,{2}>,<1,{1,2}>,<2,{1,2}>}

 

    三、实例

例1若集合A＝{a,b,c},Æ为空集合，则下列表示正确的是(    )

       A.{a}ÎA        B.{a}ÌA        C.aÌA            D.ÆÎA

       答案：(B)

       解答：由集合A的元素构成的集合是A的子集，{a}是A的子集，故选择(B)正确。

   

    例2 设全集合E＝{1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},AÇB=           ,~B=           。

～AÈ～B

答案：{2},{1,3,4}，{1,3,4,5} 

解答：AÇB是由集合A，B的公共元素构成的新集合。此处A，B公共元素只有2，故AÇB＝{2},~B是全集合中除去B的元素的剩余元素构成的新集合，全集合E有1，2，3，4，5，除去B的元素2，5，余下有1，3，4。故～B＝{1,3,4}。~A={4,5},于是～AÈ～B＝{1,3,4,5}

 

例3 对任意集合S，SÈÆ＝S，满足(    )

(A) 幂等律    (B) 零一律    (C) 同一律    (D) 互补律

答案：{C}

解答：件集合的运算性质，AÈÆ＝A和EÇA＝A称为同一律。

 

例4 设集合A＝{1a,b,c},B={a,b},那么

P(A)－P(B)=                                  P(B)－P(A)=       

答案：{c},{a,c},{b,c},{a,b,c}；Æ

解答：P(A)={Æ,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}}

          P(B)={Æ,{a},{b},{a,b}}

所以       P(A)－P(B)={ {c},{a,c},{b,c},{a,b,c}},P(B)－P(A)=Æ

 

例5 设集合A＝{1,2,{1,2},Æ}, 试求：(1)A－{1,2}; (2) A－Æ; (3)A－{Æ};(4) {{1,2}}－A; (5) Æ－A; (6) {Æ}－A

答案：(1) {{1,2},Æ}; (2) A; (3) {1,2,{1,2}}; (4) Æ; (5) Æ; (6)Æ

解答：(1) 此处{1,2}是以1，2为元素的A的子集，属于A，而不属于{1,2}的元素有{1,2}和Æ，故A－{1,2}={{1,2},Æ}。

注意：此处把{1,2}理解为A的元素，所求集合A减去一个元素是无意义的。也就是说，集合之间可以进行并、交、补、差等运算，不能进行一个集合与一个元素之间的运算。       (2) 此处的Æ是空集合，不能理解为集合A的元素。从集合A减去一个没有元素的集合，结果还是A。

注意：A中有元素Æ，如果理解为元素Æ，也就出现了同(1)所注的错误。

(3) 此处{Æ}是A的子集，结果为从A中除去元素Æ，为{1,2,{1,2}}

(4) 集合{1,2}是集合A的以1，2为元素的子集，属于{1,2}而不属于A是不可能的，故其结果为Æ。

(5) 属于空集合Æ而不属于A这是不可能的，故结果为Æ。

(6)以A的元素Æ为元素的A的子集{Æ}减去A，结果为Æ。

 

例6 试证对任意集合A，B，C，等式(A－B)È(A－C)=A成立的充分必要条件是

                            AÇBÇC＝Æ

       证明 必要性

       设(A－B)È(A－C)=A，因为

         (A－B)È(A－C)=A＝

                                        

所以 

于是对于任意必有，而必有，故有

       充分性

    设，则对于任意，必有，即，因此

                    

于是，