代数系统

       讨论代数系统、群，

一、基本要求

1. 了解代数运算、代数系统和子代数系统等概念。

掌握二元运算的性质：结合律、交换律、分配律、幂等律、吸收律。

会求集合上代数运算的单位元(幺元)、0元和逆元等。

2. 了解半群、群和子群等概念。

掌握群的运算性质：(1) (a^-1)^-1=a; (2) (a*b)^-1=b^-1*a^-1;(3) a^m*aⁿ=a^m+n;(4) (a^m)ⁿ=a^mn; (5)(方程的可解性) 方程a*x=b或y*a=b有唯一解； (6) (消去律) 由a*c=b*c或 c*a=c*b，可得a=b

3. 了解几个特殊的群，掌握其判别方法：循环群、交换群和置换群。

掌握置换、轮换以及乘积等运算。

4.了解群的同态与同构等概念，知道它们的主要性质。

       重点：代数运算及性质，群的概念，置换和置换群、交换群和循环群。

二、学习辅导

       1.代数运算及其性质

h二元运算  A是非空集合, 映射(函数)f：A²®A就是A上的二元代数运算，就是说二元运算是一个变换(对应关系)。

实数运算就是对应，如2，3ÎR，2×3®6ÎR。

代数运算的性质：

h交换律  "x,yÎA，有x¡y=x¡y¡z，¡在A上适合交换律。

h结合律  "x,yÎA，有(x¡y)¡z＝x¡(y¡z)，运算¡在A上适合结合律。

h分配律  "x,y,zÎA，有x*(y¡z)=(x*y)¡(x*z) 或(y¡z)*x=(y*x)¡(z*x)，* 对 ¡ 可分配，适合分配律.  

h幂等律   "xÎA，有x¡x=x，则运算¡在A上适合幂等律。

h 吸收律  "x,yÎA, 有x*(x¡y)=x, x¡(x*y)=x，¡ 和 * 满足吸收律.

h单位元  e_l, (或e_r)ÎA，对"xÎA, 有e_l¡x=x (x¡e_r=x), e_l(或e_r)是A的运算¡的左单位元(或右单位元)。e既是右单位元又是左单位元就是单位元。

h0元  存在 ，q就是*的0元。一侧成立叫右0元或左0元。

h逆元  对xÎA，若x^-1ÎA, 有x^-1¡x=x¡x^-1=e，x^-1是x的逆元.

h代数系统  在非空集合A上，定义了若干代数运算f₁,f₂,…,f_m, (A, f₁,f₂,…,f_m)称为代数系统。若BÍA，f₁,f₂,…,f_m在B上成立，(B, f₁,f₂,…,f_m)称为子代数系统。

       例7.1 通常数的乘法运算是否可以看作下列集合上的二元运算，说明理由。

(1) A={1,2}

(2)

(3)

(4)

       解 (1) 乘法运算不是A上的二元运算，因为2×2＝4ÏA。

       (2) 乘法运算不是B上的二元运算，因为素数乘素数不一定是素数，如2×3＝6ÏB。

       (3) 乘法运算是C上的二元运算，因为偶数乘偶数仍然是偶数。

       (4) 乘法运算是D上的二元运算，因为对任意 有 。

       在集合A上定义的运算，也称该运算在A上封闭。

       例7.2 实数集R上的下列二元运算是否满足结合律和交换律？

(1)    (1)   

(2)

       解 (1) 因为

             

             

所以 ，因此，运算*满足结合律。

       又 ，所以运算*满足交换律。

       (2) 因为

               

           

一般情况下， ，所以运算 不满足结合律。

       而 ，所以运算 满足交换律。

       例7.3 在例7.2中，运算*是否有单位元，零元和幂等元？若有单位元的话，哪些元素有逆元？

       解 运算*的定义为： 。

(1) 若r₁是单位元，则对任意元素rÎR,有

             

由于元素*是可交换的，仅考虑 ，即

             

于是          

由于r是任意的，要使上式成立，只有r₁=0。因此0是运算*的单位元。

       (2) 若r₁是零元，则对任意元素rÎR,有

             

仅考虑 ，即

             

于是          

由于r是任意的，要使上式成立，只有r₁=1。因此1是运算*的0元。

       (3) 若rÎR是幂等元，则应有 ,即

             

于是          

要使上式成立，只有r=0或r=1。因此0或1是运算*的幂等元。

       (4) 设r₂是r₁的逆元，则应有

              (*的单位元)

于是

             

因此， 对于R中的任何元素r(只要r¹1)均有逆元，其逆元是 。

       2.群    代数系统

h半群

h群

    h子群

    h 性质  适合消去律( )

       例7.4 设R是实数集，定义R上的二元运算 为

             

试问R与运算 是否为半群？

       解 显然 ，故二元运算 在R上封闭。

       只需验证 是否满足结合律。 ，

         

             

所以   

故(R, )是一个半群。

       例7.5 设集合B＝{1,2,3,4,5},试验证(P(B),Å)是群。P(B)是集合B的幂集，Å是集合的对称差运算，令A＝{1,4,5}ÎP(B),求由A生成的子群<A>=(A,Å)，并求解方程AÅX＝{2,3,4}。

       解 对任意集合C，D，EÎP(B)，有

      

   

      

所以 ，故(P(B),Å)是半群。

任意 有

      

所以Æ是二元运算Å的单位元。

       ，任意元素C，二元运算Å的逆元是它自身。

       可见，(P(B),Å)是群。

       ，二元运算Å在集合<A>上满足结合律，又Æ是Å的单位元，A，Æ的逆元是自身。可知(<A>,Å)是子群。

       因为A^－1＝A，对AÅX＝{2,3,4}，有

                           

       3.特殊群

h交换群  二义运算满足交换律的群，也称阿贝尔群.

h 循环群 能够表成

G={a^k½kÎZ，aÎG}

G是循环群. 记作G＝(a)，a是群G的生成元.

h置换  是有限集合上的双射s：M®M，n元置换

            

单位置换：

       逆置换：s^－1－

轮换：满足：(1)s(a₁）=a₂, s(a₂）=a₃, …,s(a_m）=a₁； (2)s(a)=a，当a¹a_k,(k=1,2,…,m)时.

则s是一个长度为m的轮换，记作(a₁,a₂,…,a_m).

       重要结论：置换有结合律；不相交的轮换有交换律；S_n中任一置换都可以唯一地表示成一系列不相交的轮换之积。

       例7.6 设群中每个元素的逆元素就是其自身，则G是一个交换群。

       证明 ，那么

                    

于是有

                    

即  ，因为群满足消去律，有

所以G是一个交换群。

       例7.7 设M＝{1,2,3,4,5},s是M的一个置换

s＝

求s的循环群，(s)的所有子群，和生成元素。

解  先把s表成不相交的轮换的乘积，

s＝(1  2  3)(4  5)

由此可计算出

s²＝(1  2  3),  s³=(4  5),   s⁴=(1  2  3)

s⁵=(1  3  2)   s⁶=I。

所以有s生成的循环群

(s)={I,s,s²,s³,s⁴,s⁵,s⁶}

s的所有子集为

       H₁＝{I,(1  2  3),(1  3  2)}

       H₂={I,(4  5)}       

       (1  2  3),(1  3  2)是H₁的生成元素。

       3. 同态与同构

h 代数系统(G,*)和(S,^o)，f是从G到S上的一个映射. "a,bÎG，有

f(a*b)=f(a)^of(b)

则称f是由(G,*)到(S,^o)的一个同态映射. 并称G与S同态. 如果f 是满射，则称G与S是满同态，记作G～S；如果f是单射，则称G与S是单同态.

    (f(G),^o)称为(G,*)在f下的同态象.。

h代数系统(G,*)到(S, ^o)，如果f是从G到S的一个双射，则称f是从G到S的同构，

h设群(G,*)和(S,^o)，存在从(G,*)到(S,^o)的同态双射，则称群(G,*)与(S,^o)同构。

       例7.8  对于下面给定的群G₁和G₂，函数f：G₁®G₂，判断f是不是群G₁到G₂的同态，如果是，说明是单同态，满同态，还是同构？并求同态像f(G₁)。

       (1) ,其中＋，·是数的加法和乘法，R^*是非0实数集合。

   

(2)    (2)    ,其中＋，·是数的加法和乘法，

          ，C是复数集合

   

    (3) ,其中·，＋是数的加法和乘法，

          

       解 (1)

           

                  

       总之，f(a+b)=f(a)f(b),所以f是同态函数。

       因为任何偶数，都映射为1，故f不是单射；又Ran(f)={1,－1}ÌR^*，故f不是满射。

                  f(G₁)={1,－1}

        

       故f=cosx+isinx是同态函数。

       容易验证 ，所以 f(x)=cosx+isinxs是单射。x取值可数个，而A是单位圆上的连续点，不是满射。所以f(Z)ÌA

，f(x)=cosx+isinxs不是满射。

       (3)

       故f=lnx是同态函数。

       又因为f(x)=lnx是严格单调函数，只要 ，所以，f=lnx是单射。

       再由f(R₊)=R,故f=lnx是满射，

       最后得到 是双射。

       三、实例

       例1 设集合A＝{1,2,3,…,10},在集合A上定义的运算，不是封闭的为(   )

(A) "a,bÎA, a*b=lcm{a,b}(最小公倍数)    (B) "a,bÎA, a*b=ged{a,b}(最大公约数)

(C)"a,bÎA, a*b=max{a,b}               (D) "a,bÎA, a*b=min{a,b}

       答案：(A)

       解答：在(A)中，取5,7ÎA,lcm{5,7}=35ÏA,故选择(A)正确。

       说明：在(B)中，A中任意两个数的最大公约数为1ÎA，故运算封闭。

在(C)，(D)中，A中任意两个数的最大和最小者，都在1，10之间，仍然是A的元素，故元素封闭。

       例2  在自然数N上定义的二元运算·，满足结合律代换是(    )

       (A) a·b=a－b      (B) a·b=a+2b   (C) a·b=max{a,b}    (D) a·b=½a－b½

       答案：(C)

       解答："a,b,cÎN, 

对于(A),有(a·b)·c=(a－b)·c=a―b―c，而a·(b·c)=a·(b－c)=a－b+c

对于(B),有(a·b)·c=(a+2b)·c=a+2b+2c，而a·(b·c)=a·(b+2c)=a+2b+4c

对于(C),有(a·b)·c=max{a,b)·c=max{a,b,c}，而a·(b·c)=a·max{b,c}=max{a,b,c}，故选择(C)正确。

       例3 下列代数系统(G,*)中，其中*是加法运算。(    )不是群。

       (A) G为整数集合         (B) G为偶数集合

    (C) G为有理数集合       (D) G为自然数集合

       答案：(D)

       解答：代数系统能构成群，需满足：二元运算满足结合律、存在单位元和逆元。

       因为*为加法运算，在(A),(B),(C)中，加法运算满足结合律，单位元为0，任意元素a的逆元为－a。故是群。

       在(D)中除元素0有逆元是它自身外，其它元素没有逆元，故不能构成群。选择(D)正确。

       例4 设s₁，s₂，s₃是三个置换，其中

  s₁＝(1 2)(2 3)(1 3),s₂=(2 4)(1 4),s₃=(1 3 2 4)

则s₃＝(     )

(A)   (B) s₁s₂     (C)   (D)s₂s₁

       答案：(B)

       解答：

      

               

            

                   

  ＝

故选择(B)正确。

       例5 在代数系统(N,+)中，其单位元是             ，            有逆元。

       答案：0；仅有单位元0。

       解答：单位元，即存在eÎN，使得"nÎN,有n+e=e+n＝n,对于N，只有数0满足此条件,故对于二元运算“＋”，单位元为0。

       "nÎN,有n+(－n)=(－n)+n＝0=e,但－nÏN，只有0ÎN，又满足条件。故只有单位元“0”有逆元。

       例6 设A是非空集合，集合代数(P(A)，È，Ç)中，P(A)对运算È的单位元是       ，零元是           ，P(A)对运算Ç的单位元是             。

       答案：Æ；A；Æ。

       解答：对运算È，只有Æ满足任意集合C，有CÈÆ＝ÆÈC＝C，故È的单位元是Æ。而对于运算È，只有A满足："CÎP(A)，有AÈC＝CÈA＝A，故P(A)关于È的零元是A。

       P(A)关于运算Ç，有"CÎP(A)，有AÇC＝CÇA＝C，故A是P(A)关于运算Ç的单位元是A，

例7 把置换

                    

表成轮换的乘积是                    ，表成对换的乘积是                      。

答案：(1 2 3)(5 6)；(1 3)(1 2)(5 6)(不唯一)

解答：因为置换把1®2，2®3，3®1，故第1个轮换为(1 2 3)；把4®4；第2个轮换为(4)；又把5®6，6®5，故第3个轮换为(5 6)，于是有

              ＝(1 2 3)(5 6)

因为

       

所以     

例8 设G是由12个元素构成的循环群，a是G的一个生成元素，则G有           个子群，G的生成元素集合是                  

       答案：6；{I,a,a³,a⁵,a⁷,a¹¹}

       解答：

   例9 通常数的加法运算可看作正整数N_＋上的二元运算。下列集合是N_＋的子集，加法运算在这些子集上封闭吗？为什么？

(1)

(2) 

(3)

解 (1) 加法运算在S₁上不封闭，因为3ÎS₁，5ÎS₁，但3＋5＝8ÏS₁。

       (2) 加法运算在S₂上封闭，证明如下。

       对于任意n₁,n₂ÎS₂, 设 则

             

       (3) 加法运算在S₃上封闭，证明如下。

       首先，对于任意n₁,n₂ÎS₃, 设 则

              。

       又 根据题意， 能被24整除， 能被24整除，而

             

也能被24整除，因此 能被24整除。由此知 。

       例10 设(G,¡)是群，a,bÎG,满足 则(G,¡)是交换群。

       证明  因为G是群，由群的性质，

             

即  ，由消去律，得到

             

所以(G, )是交换群。