第九章 线性系统、卷积、傅立叶变换(清华图象研究中心)

huangyhg

http://media.cs.tsinghua.edu.cn/~ahz/digitalimageprocess/chapter09/chapt09_ahz.htm#c1

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卷积是一种线性运算,图象处理中常见的mask运算都是卷积，广泛应用于图象滤波。castlman的书对卷积讲得很详细。   
  高斯变换就是用高斯函数对图象进行卷积。高斯算子可以直接从离散高斯函数得到：   
  for(i=0;   i<N;   i++)   
  {   
          for(j=0;   j<N;   j++)   
          {   
  g[i*N+j]=exp(-((i-(N-1)/2)^2+(j-(N-1)/2)^2))/(2*delta^2));   
  sum   +=   g[i*N+j];     
          }   
  }   
  再除以   sum   得到归一化算子   
  N是滤波器的大小，delta自己选

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从数学的角度分析：

      信号处理是将一个信号空间映射到另外一个信号空间，通常就是时域到频域，（还有z域，s域），信号的能量就是函数的范数（信号与函数等同的概念），大家都知道有个Paserval定理就是说映射前后范数不变，在数学中就叫保范映射，实际上信号处理中的变换基本都是保范映射，只要Paserval定理成立就是保范映射（就是能量不变的映射）。

     前面说的意思就是信号处理的任务就是寻找和信号集合对应的一个集合，然后在另外一个集合中分析信号，Fourier变换就是一种，它建立了时域中每个信号函数与频域中的每个频谱函数的一一对应关系，这是元素之间的对应，那么运算之间的对应呢，在时域的加法对应频域中的加法，这就是FT线性性的体现，那么时域的乘法对应什么呢，最后得到的那个表达式我们就把它叫卷积，就是对应的频域的卷积。

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相关和卷积是两个完全不同的概念，这一点应特别注意，虽然在数学计算上他们有类似的地方。理解这两个概念，要从他们的物理背景入手，由于篇幅的原因我只谈谈连续信号的情形供大家讨论。
研究信号离不开系统的研究，信号是系统的处理对象，系统是信号的载体。如何研究信号通过系统呢？简单说两方面：一、将信号分解为多个简单信号的和（经常用的是傅氏变换），二、系统响应求解分为零输入和零状态响应求解。如研究通信信号通过信道后变成什么样了？就是求信号通过系统的解。系统响应求解分为时域和频域，时域解法又分为经典和近代，上面所讲的就是近代时域解法。原因就是有卷积，它就是应用在零状态响应中的，其数学原理就是利用了积分的叠加性。求零状态响应，需求含有激励函数初始条件为0的非齐次方程，很自然的想法是对复杂的激励信号分解为简单的时间信号（注意正弦信号还不够简单，傅氏变换只是第一步）。连续时间系统分析，数学处理上归结为建立并求解微分方程。为了通俗下面就不那么严谨了，微分方程求解从给出函数的微分求原函数，方法虽多（高数课学的）本质微分的逆运算求积分。积分过程我们知道，应用小矩形求和代替曲边梯形，小矩形就是矩形脉冲，脉宽趋于零，矩形脉冲成了δ函数，求和成了积分（和的极限）。这就是为什么系统给出对δ函数的解即冲激响应h(t)就行了的原因，激励信号e分解为简单的时间信号就是分解为一系列δ函数和。δ函数当t≠0时均为零，对于t=t0处的e该如何表示成冲激函数呢？就是e(t0)δ(t-t0)，为何是这样呢？t-t0≠0均为零，只在t=t0取值1（为了理解这样说，δ函数定义不是这样），乘上e(t0)，不就是e在t=t0的值吗，求和就是e，反过来e也表示成δ函数和了。e通过系统，e(t0)常数，δ(t-t0)的解为h(t-t0)，最后得到e(t0)h(t-t0)，当然这是一点，还要求和。注意这里求和是积分和，因为是连续的，想想离散序列就是这样。对谁求和呢？刚才求的是t0处的，要求所有的，就是让t0变化，因此就有
∫e(t0)h(t-t0)dt0=∫e(τ)h(t-τ)dτ
搞清楚积分变量啊（它来自让t0变化）！！！这可是不和相关公式混淆的关键。正是有了卷积积分和计算机以及数值积分计算，使得时域分析仍是不可缺少的。否则缺少了上述三个因素任何一个，嘿嘿i，后果？就像有了fft。
由于处理信号通过系统要处理这样的积分∫e(τ)h(t-τ)dτ，能解决该积分的问题，也就解决了信号通过系统的问题。因此先辈们为了便于研究给这种积分起了个卷积积分的名字，简称卷积。同样由于单纯研究卷积（不用考虑物理背景，数学化的常用方法或思维），上式就写成了两个函数x(t)、y(t)的卷积R(t)=∫x(τ)y(t-τ)dτ，然后有了诸多性质和算法。但回到信号处理当中你要能解释其中物理的含义，要知道x(t)、y(t)代表了e(t)、h(t)而不会被外在的东西搞混。
相关最早是用来概率论中描述随机变量之间关系的概念，如相关系数。实际上信号一般是一个随机过程，为了实现信号的检测、识别与提取，经常要了解两个信号的相似性，或一个信号经过一段延迟后自身的相似性。 但相关系数有缺陷，因为分子是两个信号的内积，如sinx和cosx,从波形上看只是相位不同，而相关系数为零（因为正弦和余弦正交），因此引进相关函数，将原来两函数直接内积改为一个函数和另一个函数的延迟作内积。确定性信号也有同样的概念，其相关公式和卷积公式很像，且能利用卷积表示，所以有人就觉得两个概念也有关系，其实二者从概念没有任何联系。由于相关函数第一个函数和第二个函数的延迟作内积，所以相关函数不满足交换，而卷积可以。延迟不同结果不同，所以相关系数是个数，而相关函数是函数是延迟的函数。公式为
R(τ)=∫x(t)y(t+τ)dt
积分是计算内积，因此是对原来函数自变量积分，得到的是延迟τ的函数，所以和卷积公式很像，但其中每个量的物理意义是不同的，一定要清楚。
因计算问题上是纯数学问题，不用考虑物理背景，因此由两个公式，注意变量的符号，经积分变换，变为一致，就有x(t)与y(t)互相关函数R(t)=x(-t)*y(t),*是卷积。