笔记1：代数－集合，符号和思维的语言

log3

代数学是对算术的推广，研究是抽象实体（如复数、矩阵、集合、向量、群或域）以符号形式进行运算之后的性质和关系。



第一章 最初的代数

美索不达米亚：代数学的开端

美索不达米亚是一个非常精通数学的民族。美索不达米亚人懂得如何求解二次方程。他们没有符号表示法，而是用简练的文字表述。美索不达米亚人并不承认负数，因此会舍去二次方程的负数根。美索不达米亚人还知道求解某些三次和四次方程的较精确的近似解法，但他们并没有找到一种求三次和四次方程精确解的一般方法。美索不达米亚人早在毕达哥拉斯出生之前很久久知道了毕达哥拉斯定理。他们找到了一些毕氏三数组的整数解，并列成表。



美索不达米亚人在解方程方面花费了数千年时间，但他们似乎对方程的一般理论不感兴趣，没有意识到发展方程论的必要性。

埃及的代数学

       埃及的代数学很原始，最著名的资料是《阿梅斯草纸书》(Ahmes Papyrus)。但希腊很多数学家都在埃及受到过数学教育，比如泰勒斯和毕达哥拉斯。埃及的数学体系很简单，但在几千年的历史长河中，它似乎一直都满足埃及人的需要。

中国的代数学

       有文字记载的中国数学起源于汉朝。《九章》是中国最重要的数学文本之一，它包括各种论题，除了涉及税收、测量、工程和几何外，还涉及确实方程与不定方程的解法。与美索不达米亚人的相比，九章的词汇更多，会话形式更强，是言辞代数的一个很好的例子。



       《九章》和美索不达米亚代数有很多相似之处，他们都没有提到数学的一般理论问题，不是现代意义的高等代数，还是“实用”数学高度发展的一个例子。另外一个相似点在于：都使用了近似的方法。不同之处在于：中国人承认负数，给出了负数的运算法则。



       中国的数学除了在确定方程方面做出了工作以外，而且对不定方程有着深厚的兴趣。他们也熟悉毕达哥拉斯定理，称为勾股定理。




第二章 希腊的代数

美索不达米亚、埃及、中国的数学有很多相似之处，研究的问题类似；解决问题是强调算法，而不是强调方程论；都没有发展出一套用以表述思想的专门的代数符号集，而是文字表述。



希腊的数学有着根本的不同，他们的兴趣在于数和形的本质，为数学而数学。他们用数、点、曲线、平面以及立体几何的性质来表述自己的思想。另外一个重要的区别在于：明确区分精确结果和近似结果。

毕达哥拉斯学派的发现

毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，宇宙万物都可以仅用数及其比来表示，不承认无理数。亚里斯多德给出的不可公度性的概念证明了毕达哥拉斯学派观点的错误。



可公度的(Commensurable):

       可以被一个公共的量度整除。当两个长度（或表示长度的数）可以被一个公共的单位整除时，就称其为可公度的。

几何代数学

希腊人把几何学看成一种描述和理解周边世界的语言，并用几何学语言来描述代数学的思想。从欧几里德的《几何原本》可以看到，几何学的思想如何完全渗透到希腊数学当中，其中包含代数学。欧几里德用线段表示未知量，并确立了对它们进行运算的法则。对于用方程来表示的那些东西，欧几里德则用三角形、矩形或者其他形式的图形来表示。几何代数学是可视化的代数学。

亚历山大的丢番图

丢番图(Diophantus, 200~284)被认为是代数学之父，因为在希腊所有伟大的数学家中，他可能是唯一一位致力于把代数学看作是从几何学中独立出来的一门学科来研究的人。丢番图最著名的著作是《算术》(Arithmetica)。



《算术》的第一章试图对代数学的基础做出一个说明，这是人们在这一方面所做的首次尝试，具有重大的历史意义。丢番图使用有理数和负数，给出了负数的运算法则。《算术》描述的是“纯粹”的问题，热衷于求出精确解。丢番图使用了符号体系，在著作中引入缩写和一些符号，称为简写代数(syncopated algebra)，极大的提高了代数的抽象水平。




第三章 从印度到北非的代数

印度数学

印度数学成就的最早记录时《绳法经》，收集了几何学和几何代数学里的结果。印度数学与其他数学文化相比，一个重要的区别是：并不把数学看作一个独立学术学科。



婆罗摩笈多(Brahmpgupta, 598~670)，印度数学家中最重要的人物之一，著有《婆罗摩笈多修正体系》，使用了简写代数。婆罗摩笈多在求解二次方程是，好像把它们看成这种 统一的形式，接受负数解，并认为有理数和无理数也是方程的解。婆罗摩笈多也对不定方程感兴趣，他试图找出满足某些限制条件的所有可能的解。



马哈维拉(Mahavira, 800~870)，是受《婆罗摩笈多修正体系》启发的人之一，著有《计算方法纲要》，是印度数学传统中第一部致力于纯数学研究的著作。马哈维拉把自己对代数学的理解应用到其他两类问题上：组合和几何学。



婆什迦罗(Bhaskara, 1114~1185)著有《天文系统极致》，是古代印度最重要的著作。婆什迦罗使用了一种高度简写的代数符号，解决了许多确定方程和不定方程。他对二次方程工作颇具一般性，而且对解特殊方程的技巧性方法也非常感兴趣。他的工作与其前人相比的标志是：婆什迦罗的工作更加深入，其方法更为一般，更加抽象。

伊斯兰数学

伊斯兰数学在数学史上有着深远的影响：代数学是伊斯兰数学家们所做出的重大贡献。在巴格达有当时世界上最大的研究中心之一：智慧宫(the house of wisdom)。



花拉子米(Khwarizmi, 780~850)，波斯数学家，著有《还原与对消计算概要》。花拉子米使用言辞代数，前半部分讲述二次方程的解法，但是他并不认为所有的二次方程都具有统一形式，而且他的方法不如婆罗摩笈多的更具有一般性。但花拉子米的重要贡献在于：试图证明他使用方法的正确性，为代数学建立一个牢固的逻辑基础。花拉子米选用的证明工具是几何学，那些用作代数论证的几何推理观念非常新颖。他的著作一直是代数学严密性的典范。



奥马﹒海亚姆(Omar Khayyam, 1050~1123)，继花拉子米之后伊斯兰数学家中最重要的一位，著有《代数学问题专论》。奥马﹒海亚姆在研究了二次方程以后，继续对三次方程进行求解，他确实找到了一种用几何学表示解的方法。他抛弃了传统欧几里德几何学，用数而不是用线段来刻画曲线的性质。从某种意义上来说奥马﹒海亚姆讲几何思想与代数思想相综合的观念是非常现代的。奥马﹒海亚姆还知道代数方程与数系之间存在着的紧密联系。





尽管印度数学家有时比相应的伊斯兰数学家取得了更为高等的结果，但他们往往通过类比和符号系统来发展自己的代数。这些叙述方法非常有用，但在区分数学中正确的与错误的内容上无能为力。伊斯兰数学家注重有力的逻辑论证，逻辑上严格论证是把数学上的真理与谬误区分开来的唯一可行工具。从这个意义上讲，伊斯兰代数学比印度人的更接近现代代数学的概念。