【讨论】什么是数学

huangyhg

<<什么是数学>>
[美]r.柯朗 H.罗宾著



1．数是近代数学的基础
上帝创造了自然数,其余的是人的工作.p6
位置记法是在中世纪由意大利商人从穆斯林那里学会，并引进欧洲的。从此，数表示为一系列带权值（基）的数码符号。

在日常生活中，常用的权值是十，即十进制；在计算机虚拟世界中，常用的权值是二。拉普拉斯（Laplace）说：“莱布尼兹（W.Leibniz）在他的二进制算术中看到了宇宙创始的原象。他用1表示上帝，而用0表示虚无，上帝从虚无中创造出所有事物，恰如在他的数论中用1和0表示了所有的数。”

2．数学是科学的皇后，而数论是数学的皇后

2．1 素数
从可除性建立的一个重要概念是素数.
素数是大于1且只能被1和自身整除的整数.

2．1．1 哥德巴赫（Goldbach）猜想

任何一个偶数（除了2，2本身是个素数）都能表示为两个素数之和。

2．1．2 存在无穷个以P和P＋2的形式出现的素数对

素数经常以P和P＋2的形式成对出现，例如3和5，11和13，29和31等。
素数(质数)分布的平均状态能用对数函数来描述.p39

2．2 有理数

有理数由整数和分数构成。

2．2．1 有理数的由来

在日常生活中，我们不仅要数单个的对象，而且也需要度量长度、面积、重量和时间等。为了能自如地度量这种能任意细分的量，就必须把算术的范围扩展到自然数的范围之外。若要把度量的问题转变为分段计数的问题（P64），首先，要引进一类(不同细分的)度量单位；其次，在同类度量单位进行换算的过程中，引入了符号m/n，使度量脱离了测量过程以及被测量的具体关系，而被看作是一种纯粹的数。由于这种数本身可作为一个与自然数有同样的地位的实体，被称之为有理数。

2．2．2 有理数的定义

当m和n是自然数时，符号m/n称为有理数。

2．2．3 负数和分数

对自然数而言，为了突破减法的运算限制（如：b－a，当b小于或等于a时，才有解），引进了“负整数”和“0”；为了消除除法的运算限制，引进了“分数”。

2．2．4 有理数的几何解释

有理数可用一条有向直线（数轴）来表示，有理点在直线上是稠密的。

2．3 无理数

2．3．1 无理数的由来

早期毕达哥拉斯学派（希腊）发现，存在着不可公度的线段（P71）。例如：正方形的对角线是不可度量的。于是，将这种非循环小数称为无理数。

2．3．2无理数的定义

若要摆脱对基10的特殊依赖关系，可使用“区间”来定义无理数。而戴特金则采用“集合”来定义无理数。

2．4 实数

任何一个有理数序列，如果“收敛”，则定义为“实数”。康托的定义源自于：

1） 实数可以看成一个无限十进制小数

2） 无限十进制小数可看成有限十进制小数的极限。（疑惑：极限的定义是？）

2．5 解析几何（P87）

2．5．1 基本原理

解析几何的基本思想是引进“坐标”，比如，对一条几何线段标上其特征值（起点坐标和终点坐标），从而从某种角度上完全量化了这条几何线段。解析几何的原理就是在引进实数连续的基础上，用实数来度量几何对象的特征量。

2．5．2 扩充的数域（P103）

直到中世纪中叶，数学家才完全意识到，在一个扩充的数域中运算，其逻辑和哲学基础本质上是形式主义的，这扩充的数域必须通过定义来创造，这些定义可以是随意的。但是，从长远来看，如果不能在更大的范围内保持在原来范围内通行的规则和性质，它是毫无用处的。这些扩充可以与“实际”对象相联系，并且可为新的应用作为工具使用。

2．6 复数

2．6．1 复数的由来

为了保证每个二次方程都有解，引进了“复数”。

比如：

方程x^2 ＝－1的解为x＝i（符号）；
即引进“虚数”，构造一“复数域”。

2．6．2 复数的几何解释

复数和二维空间中的点一一对应。

比如：

Z＝X＋Yi，式中， X坐标表示实部，Y坐标表示虚部。

2．7 代数数

2．7．1 代数数的由来

代数数的概念是有理数的自然推广，有理数就是n＝1时的特殊情况。

全体代数数是可数的，而实数是不可数的，因此必定存在不是代数数的实数。

2．7．2 代数数的定义

任何一个数x，不论是实数还是复数，如果满足某个形如an·x^n + an-1·x^n-1 +…+ a1·x + a0 = 0（n大于等于1，且an不等于0）的代数方程，其中ak是整数，那么这个数就是代数数。

2．8 超越数

不是代数数的实数称为超越数。比如，e和∏。

huangyhg

黄毛丫丫的读书日志之一。

huangyhg

对数的出现是为了简化航海中的计算。
离散模型的“极限”就是连续模型？