Hamilton系统、辛几何与KAM定理（连载）

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Hamilton系统、辛几何与KAM定理（1）

作者：萍踪浪迹（Shanqin Wang）

经典力学从Newton手中的形式经过Euler形式化与和Lagrange的提升，成为分析力学，再经过Hamilton和Jacobi的发展，产生著名的Hamilton系统理论。

我们考虑n维位形空间R^n，粒子在其中自由运动时，自由度为n，如果加以约束，则可以减少自由度，如数学双摆，一个摆的运动轨迹为S^1，另一个的运动轨迹为以第一个质点为圆心的S^1，因次就是2维环面T^2，此时它的速度则为T^2上的切向量。

更一般的，我们考虑广义坐标q（q_1，q_2，……，q_n），广义速度dq/dt（dq_1/dt，dq_2/dt，……dq_n/dt），两者的直积空间（q，dq/dt）称为状态空间。
如果我们考虑广义动量p（p_1，p_2，……，p_n），则直积空间（q，p）称为相空间。
动量和速度只差个质量，但是在数学上，由于矢量变化的不同，必须区分。

简单的计算可知：
广义速度dq/dt是逆变矢量，所以状态空间（q，dq/dt）是以位形空间为底空间的切丛TM；
广义动量p是协变矢量，所以相空间（q，p）是以位形空间为底空间的余切丛T*M。

我们主要分析相空间。在相空间中一个重要的不变量是Poincaré积分不变量：ω=Σdp_i∧dq_i，i=1，……，n。

Poincaré积分不变量在局部微分同胚下保持不变。这个性质在经典力学中对应正则变换，可以将一个hamilton系统变换为另一个hamilton系统，从而大大简化计算，在理论物理和天体力学中有重要应用。

由Darboux的一个著名定理可以知道，任何一个偶数维的向量空间都可以赋予一个反对称双线性形式，即辛形式（symplectic form），从而这个向量空间成为辛空间，这使得相空间（必定是偶数维）的研究可以应用辛空间理论。和其他向量空间一样，辛空间也有子空间以及直和分解以及正交补等重要概念，辛空间的最大迷向子空间就是Lagrange子空间。

如所周知，Poincaré是动力系统的奠基者，辛空间中的动力系统成为辛动力系统，但是并非所有辛动力系统都是Hamilton系统，除非Calabi不变量为零。

Hamilton系统的重要研究对象是关于动力学流（flow）的研究，相空间中的流的定义是相空间中的单参数变换群，相流保持相空间体积（测度，measure）不变（Liouville定理），且经过足够多次变换，总可使相空间中任意点x回到该点的任意小领域u（x，ε）内（Poincaré回归定理），而Hamilton流可以保持辛结构不变，且Hamilton流的Poincaré映射为辛映射。

Poincaré积分不变量出现的重要作用在于使得我们可以将研究从R^2n推广到一般微分流形M^2n上，用M^2n上的辛形式（非退化的闭的2次微分形式）代替R^2n上的辛形式。在推广后，就可以抽离动力系统，直接研究与速度无关的线汇，得出更重要得多的Poincaré-Cartan积分不变量：ω=Σp_i∧dq_i-Hdt，i=1，……，n。
其中H为H（p，q，t），如果H不显含t，则为保守系统，若不显含q_i，则p_i=constant为首次积分（著名的Noether定理可以用来计算Hamilton方程组的首次积分），q_i则为循环坐标。若所有坐标都为循环坐标都为循环坐标，则Hamilton系统完全可积系统。
由于现实中可积系统的“个数”相对于所有Hamilton系统的“个数”而言甚至连稠密集都不是，因此人们只能对可积系统进行微扰后进行研究，因此稳定性问题等课题就显得非常重要。

（未完，待续）