什么是黎曼曲面?

huangyhg

什么是黎曼曲面?
数学上，特别是在复分析中，一个黎曼曲面是一个一维复流形。黎曼曲面可以被认为是一个复平面的变形版本:在每一点局部看来，他们就像一片复平面，但整体的拓扑可能极为不同。例如，他们可以看起来像球或是环，或者两个页面粘在一起。

黎曼曲面的要点在于在他们之间可以定义全纯函数（holomorphic function）。黎曼曲面现在被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择，特别是像平方根和自然对数这样的多值函数。

每个黎曼曲面都是二维实解析流形（也就是曲面），但它有更多的结构（特别是一个复结构），因为和乐函数的无歧义的定义需要用到这些结构。一个实二维流形可以变成为一个黎曼曲面（通常有几种不同的方式）当且仅当它是可定向的。所以球和环有复结构，但是莫比乌斯圈，克莱因瓶和投影平面没有。

黎曼曲面的几何性质是最妙的，它们也给向其它曲线，流形或簇上的推广提供了直观的理解和动力。Riemann-Roch 定理就是这种影响的最佳例子。

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黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1＋dx1，……xn＋dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即

，

（gij）是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。

黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。

黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如：定义度量（a是常数），则当a＝0时是普通的欧几里得几何，当a＞0时 ，就是椭圆几何 ，而当a＜0时为双曲几何。

黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决。前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概念。在此基础上G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。他们进一步发展了黎曼几何学。

但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。随着微分流形精确概念的确立，特别是E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并开辟了广阔的园地，影响极其深远。并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。

1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦兹几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具。而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场）的数学基础。

1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明，以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，引进了后来通称的陈示性类，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。半个多世纪，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。


黎曼猜想，即素数的分布最终归结为如下所谓的黎曼ζ函数：
∞ 1
ζ（z）＝ ∑ ——— ，z＝x＋iy
n=1 nz

的零点问题，他做出这样的猜想：ζ（z）函数位于0≤x≤1之间的全部零点都在x＝1／2之上，即零点的实部都是1／2，这至今仍是未解决的问题。

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请问微分流形和黎曼流行主要内容是什么？
微分流形

一、 流形的基本概念：流形的定义和基本例子，子流形，切空间和切丛，光滑函数、光滑映射及切映射。要求了解球面、环面、射影空间等基本例子，并了解一维、二维流形的分类。要求了解浸入（immersion）、嵌入（embedding）、淹没（submersion）和微分同胚的概念。
二、 正则性、奇异性及其应用：正则点和正则值，临界点和临界值，Sard定理，Morse引理，Thom横截性定理。要求了解映射度的概念，并能运用正则值的概念验证某些空间是流形。
三、 光滑向量场和可积性定理：光滑向量场及其奇点的定义，Lie括号，积分曲线和动力系统，Euler-Poincare公式，Frobenius可积性定理。
四、 Lie群和Lie 群作用初步：Lie群和Lie代数的定义和基本例子，单参数子群，指数映射，Lie群在流形上的作用，基本向量场，齐性空间等。要求能够验证一些常见的矩阵群为Lie群并计算它们的Lie代数，并对一些低维Lie群的流形结构较为熟悉。要求能将一些常见流形写成齐性流形。
五、 微分形式和积分：微分形式和外积的定义和性质，外微分，内积，Lie 导数，Cartan公式，de Rham上同调，Poincare对偶，Laplace算子，Hodge理论初步，定向和微分形式的积分，带边流形和Stokes定理。要求掌握单位分解的技巧，要求了解外微分和Stokes定理的古典形式。要求能够计算常见流形和二维流形的上同调环。
六、 Riemann 几何初步：Riemann度量，Levi-Civita联络，Christoffel符号，Rieman曲率，截曲率，常截曲率流形的模型。要求能够从给定的Riemann度量计算Riemann曲率。要求对向量丛的概念和张量运算较为熟悉。

黎曼流形

爱因斯坦的广义相对论告诉我们，引力并不是真正的力，而是反映空间扭曲的一个几何现象。对一个考察者来说，他身处在这个空间里，是无法直接体会到空间扭曲的。 但是他可以通过测量自己所处的空间来判断是否存在空间扭曲，测量的标准就是所谓的度量。 度量是内蕴性质。 具有度量的空间就称为黎曼空间。

具体的定义如下：

黎曼流形是具有黎曼度量的微分流形，换句话说，这个流形上有一个对称 正定 协变 二阶张量场， 亦即每一点处有一个2阶正定矩阵。给了度量以后， 我们就可以向数学分析里做的那样，建立起微积分的理论。

欧氏空间有自然的度量ds^2=(dx_1)^2+...+(dx_n)^2.它的矩阵就是单位矩阵。
欧氏空间中的子流形当然也就自然地诱导出一个度量。 曲线和曲面的微分几何 里，我们都是把曲线曲面视为三维空间的子流形，所以自然赋予了度量结构。

黎曼度量给定后，我们可以有唯一的确定出一个对称（即无挠）联络，并且它是保持黎曼内积。这个联络称为黎曼联络。

有了联络，我们就可以定义向量场的协变微分和协变导数，从而建立起流形上的微分学。 在欧氏空间上，联络是0，所以这就是通常意义上的向量函数的微分。

黎曼度量还诱导出黎曼曲率的概念，它反映了流形的弯曲程度，是内蕴性质，也就是说这个性质与流形所在的大空间无关。 曲率恒消失的流形称为平坦黎曼流形。欧氏空间就是最常见的平坦流形。

大数学家 高斯 最早研究了曲面上的曲率--高斯曲率， 发现这种曲率是内蕴的，尽管它的定义式不是内蕴的。 这是一个非常了不起的发现。
参考资料：http://baike.baidu.com/view/729314.htm