线性变换

huangyhg

线性变换

linear transformation

　　线性代数研究的一个对象，向量空间到自身的保运算的映射。例如 ，对任意线性空间V，位似σk：aka是V的线性变换，平移则不是V的线性变换，若a1，…，an是V的基，σ（aj）＝a1ja1＋…＋anj（j＝1，2，…，n），则称Imageinear transformation.jpg为σ 关于基｛a：｝的矩阵 。对线性变换的讨论可藉助矩阵实现。σ关于不同基的矩阵是相似的。Kerσ ＝｛a∈V｜σ（a）＝θ｝（式中θ指零向量）称为σ的核 ，Imσ ＝｛σ（a）｜Imageinear transformat.jpga∈V｝称为σ的象，是刻画σ的两个重要概念。

　　对于欧几里得空间，若σ关于标准正交基的矩阵是正交（对称）矩阵，则称σ为正交（对称）变换。正交变换具有保内积、保长 、保角等性质 ，对称变换具有性质：〈σ(a)，β〉＝〈a，σ（β）〉。