【转帖】浮点类型深谈

huangyhg

标题：浮点类型深谈

1．编写本文目的
浮点运算已属常用，但仍有深究必要，以消除其中可能的错误使用。

2．预期读者

3．编者语
㈠ 在其他任何公共论坛上转载本文，请标明出处和作者，而无需授权和确认。

4．正文
㈠ float格式简谈
Inter 80386/80387 及以上型号CPU有三种浮点类型，即短实数、长实数和80位临时实数，分别占用4字节、8字节和10字节，对应着C/C++中的float、double和long double[注1]，我以 Real4、Real8和Real0表示之。
每种浮点格式皆应符合IEEE 754标准，称为规格化数，不符合IEEE标准的浮点格式称为非格式化数（NAN），我以最简单的float格式举例。
Float格式数据长32 bits，最高位为符号位：0为正，1为负；紧接着的8位为阶码：为了便于比较大小，其固定偏移7FH长，即0实际表示-7FH，7FH实际表示0，0FFH实际表示80H；余下的低23位为尾数（有效数字），为了使有效数字达到最大精度，这23个有效数字隐含着固定位1[注2]，比如尾数10000000000000000000001其实就是1.10000000000000000000001，1被省略，而小数点固定在首位。
根据以上规则可以知道float所能表示的绝对值大小范围是
0 000,0000,0 000,0000,0000,0000,0000,0000 B 至
0 111,1111,1 111,1111,1111,1111,1111,1111 B
即±1.00000000000000000000000B×2(0x00-0x7F) 到±1.11111111111111111111111B×2(0xFF-0x7F)
然而事实上并不是这样，因为从这个范围可以看出它并不能表示0.0，而0.0为常用数字，所以特别规定±1.00000000000000000000000B×200为零，规定指数为0xFF的数字为非法数字，因此float实际的绝对值范围（除去0以外）是
0 000,0000,0 000,0000,0000,0000,0000,0001 B 至
0 111,1111,0 111,1111,1111,1111,1111,1111 B
即 0 并上 ±1.00000000000000000000001B×2(0x00-0x7F) 到±1.11111111111111111111111B×2(0xFE-0x7F)
可能的格式状态：
+不支持
+非有效数
-不支持
-非有效数
+规格化
+∞
-规格化
-∞
+0
+空
-0
-空
+不能规格化
-不能规格化
可能的异常：
无效操作
上溢
下溢
除零
不可规格化操作数
精度不足
㈡ 注意事项
a. 可以看出0可以用+0表示，也可以用-0表示，为此，CPU在比较零值时作了特殊处理，结果是±0虽然在存储器上格式不同，但比较值相同，然而如果是用字节来比较float类型大小时却需要注意这一点。
b. 运算上溢的值不是实际值，而是特值 0 111,1111,1 000,0000,0000,0000,0000,0000 B，例如 1.0×2127 + 1.5×2127 不等于 1.5×2128，虽然它有能力表示1.5×2128。
c.
㈢ 在C++中的部分解决方案及遗留问题

5．参考资料
《Inter 80X86/80387 汇编指南》

6．附录
[注1]：M$认为double精度已足够，故在MVC++5.0及以后取消80位了临时实数，令long double等同于double，但在本文中的long double还是指80位临时实数。
[注2]：各种浮点类型格式类似，double指数偏移基数3FFH，long double指数偏移基数3FFFH，但long double特殊在无有效数字隐含位。
real04：符号位1，阶码08(固定偏移  7F)，尾数23，固定隐含位有；
real08：符号位1，阶码11(固定偏移 3FF)，尾数52，固定隐含位有；
real10：符号位1，阶码15(固定偏移3FFF)，尾数64，固定隐含位无；

7. C99 之 fenv.h
#pragma STDC FEVN_ACCESS ON

FE_DIVBYZERO 除0异常
FE_INEXACT 不精确值异常
FE_INVALID 非法值异常
FE_OVERFLOW 上溢异常
FE_UNDERFLOW 下溢异常
FE_ALL_EXCEPT 所有浮点异常

FE_DOWNWARD 向下舍入
FE_TONEAREST 最近舍入
FE_TOWARDZERO 趋0舍入
FE_UPWARD 向上舍入
FE_DFL_ENV 默认环境

等等，太多了


posted on 2004-05-20 05:59 周星星 阅读(7455) 评论(17)  编辑 收藏



评论

# re: float谈（ ASM/C/C++，未完待续 ） 2004-05-21 04:37 Hunpo326
处理器不是采用了补码形式吗？这样还没有消除+0和-0问题呀。有点不明白，等我回头看看。



# to Hunpo326 2004-05-21 06:02 周星星
对于整型才使用补码表示；看float的格式，如果使用补码表示负数只会带来麻烦。



# to [xiong_107]： 2004-05-25 05:34 周星星
double(1.000997) 在内存中的存储：
double存储格式: 符号位1bit,阶码11bits,尾数52bits,还有一个隐含固定位
先将十进制表示的1.000997换算成二进制科学计数法表示，即
1.0000000001000001010101101110001001100100111001001000 乘以 2 的 0 次方，
第一bit是符号位,此时为正，故放0
接着是阶码,阶码此时为0,但要加上偏移基数3FFH,变成了01111111111(二进制表示)
接着是尾数,也就是小数点后面的52bits,小数点前面的1就不需要了,这就是隐含固定位的意义
这样就变成了0 01111111111 0000000001000001010101101110001001100100111001001000(二进制表示)
即 3FF004156E264E48(十六进制表示)



# re: float谈（ ASM/C/C++，未完待续 ） 2004-06-08 22:30 NoMatter
The following parameters are used to define the model for each floating-point type:

s sign (±1)
b base or radix of exponent representation (an integer > 1)
e exponent (an integer between a minimum emin and a maximum emax)
p precision (the number of base-b digits in the significand)
fk nonnegative integers less than b (the significand digits)

A normalized floating-point number x ( f1 > 0 if x ≠ 0) is defined by the following model:

p -k
x = s × be ×Σ fk × b , emin ≤ e ≤ emax
k=1



# re: float谈（ ASM/C/C++，未完待续 ） 2005-07-09 10:56 Magus
问个问题：

如果在VC++中定义一个FLOAT，然后赋值：-0.01

编译的时候会有警告，这是为什么呢。。。



# to Magus： 2005-07-09 12:05 周星星
如《立即数的后缀修饰》所说，严格的应当写成 float var = -0.01f; 不加f后缀默认其为double类型，而之所以有些立即数不报出警告这是因为这个立即数在float和double中一致或精度足够。
注意精度对最终结果的影响：
float a = 6.6/2.2;
int b = 6.6/2.2;
int c = a;
此时 c 是多少？如果把float a换成double a，那时 c 又是多少？



# re: float谈（ ASM/C/C++，未完待续 ） 2005-08-15 22:16 kaby
浮点是CPU里实现一半、compiler实现一半啊？

只看过整数运算实现浮点的，浮点实现浮点有点意思。。



# 问 2005-09-01 12:39 fzx
如果用float作为CMap的键值（key），则程序可能隐藏哪些缺陷？

如何规避呢？
请帮忙分析一下。



# to fzx： 2005-09-01 13:25 周星星
不是很明白你所问的问题：
1.  C++中有std::map，但没有CMap，CMap是MFC的，不是C++的。
2. float本来就没有缺陷，既然没有缺陷，就谈不上“隐藏哪些缺陷？”，此文说的是“可能的错误使用”，“可能的错误使用”是程序员的事，它不是float的缺陷，如同菜刀能割开手指，“能割开”是菜刀的功能，如果没有“能割开”这个功能那么菜刀也就不能切菜切肉，也就失去它存在的意义，所以虽然菜刀能割开手指，但“能割开”不是菜刀的缺陷，是菜刀主人的使用不当。



# to 周星星 2005-09-07 12:26 fzx
你的意思我明白。我想表达的也是“可能的错误使用”。

MFC中CMap，如果用float作键值，查表的时候，会直接导致浮点数直接比较（通过f1==f2来判断），如果菜刀用不好，会割到手指。问题可能归根于浮点比较吧。




# to fzx： 2005-09-07 12:55 周星星
：） 浮点数直接比较有问题吗？这网上以讹传讹，竟然说浮点数不能直接比较，我晕。
浮点数是有限精度的实数，比如doule就不能精确的表示6.6和2.2，那么if( 6.6/2.2 == 3.0 )肯定是false，但不是浮点数本身不能比较
if( 6.6 == 6.6 ) 一定是true
if( 2.2 == 2.2 ) 一定是true
if( 6.6/2.2 == 6.6/2.2 ) 一定是true



# re: float谈（ ASM/C/C++，未完待续 ） 2005-10-29 02:31 leojay
“浮点数直接比较有问题吗？这网上以讹传讹，竟然说浮点数不能直接比较，我晕。 ”
我认为大家说的“浮点数不能直接比较”的意思不是说6.6 == 6.6会编译出错，而是由于浮点数的不精确，你直接比较浮点数的大小，经常会出一些莫明其妙的问题。
手边没有VC，我用Dev-C++4.9.9.2，下面的程序
    int i;
    double a = 0.1;
    double sum = 0.0;
     
    for (i=0; i<10000; i++)
    {
        sum += a;
    }
    if (sum == 1000.0)
    {
          cout << "equal" << endl;
    } else
    {
          cout << "error" << endl;
    }
    cout << (sum-1000.0) << endl;

上面的程序输出：
error
1.58821e-010



# re: float谈（ ASM/C/C++，未完待续 ） 2005-10-29 02:39 leojay
我一般在程序中比较浮点数的时候，都是这样做的：
先定义好：
const double esp = 1e-6;

#define equal(a, b) (fabs((a)-(b))<esp)

然后要比较的地方：
if (equal(sum, 1000.0))
{
      cout << "equal" << endl;
} else
{
      cout << "error" << endl;
}
这样就正确了。
最多就只要根据需要调节一下esp的大小就好了。



# re leojay： 2005-10-29 12:20 周星星
我这几天非常忙，不再有时间回复跟贴了，sorry。

1. 6.6 == 6.6，……，而是由于浮点数的不精确
------ 浮点数是绝对精确的，比如它用double 6.5999999999999996 来表示 6.6，而绝对不会用 6.5999999999999995，也绝对不会用 6.5999999999999997。
记住，浮点数不能表示所有精度的实数，但浮点数本身是绝对精确，不可能这次用 6.59…6 来表示 6.6，却在其他地方或其他时候用 6.59…7 来表示 6.6。

2. 对于第一段代码，你犯了一个错误，你用无限精度的计算结果来比较有限精度的计算结果，double是有限精度的，既然大家都知道，你这段代码能说明什么呢？如果你要证明浮点数不精确的话，你应该这样写：
for( i=0; i<10000; i++ )  sum1 += 0.1;
for( i=0; i<10000; i++ )  sum2 += 0.1;
if( sum1 != sum2 ) cout << "浮点数不精确。" << endl;

3. 对于你说的 epsilon != 1e-6，我猜想你工作不久，或者是你没有从事过科学计算相关的工作。如果你从事过科学计算相关的工作，那就简单了，我问你，为什么是 1e-6 而不是1.1e-6，而不是0.9e-6 ？
当然，如果你没有从事过科学计算相关的工作，对于我这个问题你一定听得莫名其妙。没关系，把你的代码改一改就成了：
const double a = 0.1000000001;
double sum = 0.0;
for( int i=0; i<10000; ++i ) sum += a;
cout << (equal(sum,1000.0)?"equal":"unequal") << endl;
也就是 0.1000000001 累加一万次等于 1000.0 。你把一个看起来错误但实际是正确的计算弄成了看起来也正确，了不起，但却把一个看起来错误实际也是错误的计算却弄成了正确，这不是得不偿失嘛，哈哈！



# 补充： 2005-10-29 12:25 周星星
为了防止好争论者有意找茬，我在此对
for( i=0; i<10000; i++ )  sum1 += 0.1;  
for( i=0; i<10000; i++ )  sum2 += 0.1;  
if( sum1 != sum2 ) cout << "浮点数不精确。" << endl;
进行补充说明：
某些编译器的某些选项允许用浮点数的计算误差来换取效率，这样一来，sum1就未必等于sum2，但是这不能说明浮点数不精确，因为你不让某甲参加考试却一定要他拿第一名，这个要求太变态。



# re: float谈（ ASM/C/C++，未完待续 ） 2005-10-30 14:53 leojay
我忘记加声明了：我的程序不能用于有高精度要求的科学计算。呵呵。^_^

被您发现了，我刚工作一年，而且也没从事过科学计算。呵呵。我工作上的程序一般用于处理钞票方面的比较多，只要精确到小数点后3位就好了。所以一般用eps=1e-6，而且我的帖子最后我也说了一句“最多就只要根据需要调节一下esp的大小就好了”

不过我猜想，如果要用到有高精度要求的科学计算上的话，不能直接用double或long double这种数据类型吧？像您上面的这种const double a = 0.1000000001的数据，随便来个乘乘除除的数据不就都乱了吗？比方说，我cout << a / 10000.0 * 10000.0;的结果就是0.1了。

之前在大学里参加ACM程序比赛时，如果要处理高精度要求的数据（比如小数点前、后2000位），我都是自己写高精度类型的类来实现的。

这方面经验不多，又比较感兴趣，所以想请教一下，如果有空的话，跟我说说有关这方面的知识吧。多谢了。



# re leojay: 2005-11-01 11:07 周星星
（A）科学计算未必都是高精度，事实上也并没有无限高精度的实现手段，如果有的话，就能把0.999…计算成1.0 ^_^

（B）精度按需设计，有一个比精度更重要的是结果的可再现性，这是一切科学研究的根本。对于一个运算过程，要保证相同的数据得出相同的结果，如果每次0.3*3都等于1.0那就说明这个运算逻辑正确，虽然它与无限精度的实数运算结果（0.9）之间存在误差。误差大家都能理解，但不能飘忽不定，有的时候是0.899，有的时候是0.901，那就不行了，“一次不忠，百次不用”^_^

（C）epsilon用于误差检查，但它存在的前提就是运算过程的精确。我举个反例：假设运算过程不精确，0.3*3只有90%的几率等于1.0，那么此时epsilon应该取多少？没法取吧！所以说运算的精确是其他一切的前提，包括精度。而计算机的浮点运算就能保证运算的精确，虽然它的精度不是无限的。