笔记1:几何学－空间和形式的语言

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第一部分古代几何学

一 希腊人之前的几何学

几何学的研究始于埃及，源于土地和建筑测量的需要。埃及人发明了一些精确和简单的公式来计算面积和体积。



位于现今伊拉克的美索不达米亚同样研究几何学。美索不达米亚的数学家对代数学的爱好慎重，甚至他们的几何问题也常常带有代数的色彩。美索不达米亚人知晓毕达哥拉斯定理。与埃及人相同，美索不达米亚人发展主要是度量几何学。



埃及和美索不达米亚在几何学上的观念是相似的：寻求数值解来解决计算问题——求积几何学。但他们的工作没有中心思想，也没有系统理论来编排他们发现的公式。这些工作是在特定时期内解决特定问题的数学。



一般来讲，现代数学家关心的是：从一般原理演绎出更广泛类型的几何对象性质。





二 早期的希腊几何学

希腊的数学方法从以开始就与众不同：重视抽象，而轻视计算。希腊几何学的特点是：不用数的几何学，擅长纯粹的几何推理。

泰勒斯(Thales, 650BC~546BC)

数学的新思路：不再强调直觉，而是强调演绎推理。演绎推理即从一般原理到特殊情况的推理过程。泰勒斯是严格使用此方法的第一人。泰勒斯在几何学上重要性在于他研究数学的方法，这种方法使他成为数学史上第一位真正的数学家。

毕达哥拉斯(Pythagoras, 582BC~500BC)学派

传说毕达哥拉斯是泰勒斯的学生。毕达哥拉斯对数学的兴趣源于宗教信仰以及对数学的深信不疑。毕达哥拉斯学派最重要的发现与数及数之比有关。认为“万物皆数”，宇宙万物都可以仅用数及其比来表示。但其后来发现的“无理数”，推翻了毕达哥拉斯学派所坚持的“万物皆数”的思想。“黄金分割”(Golden Ratio/Section)也是毕达哥拉斯学派的重要发现。

欧多克索斯(Eudoxus, 408BC~355BC)

欧多克索斯是柏拉图(Plato)的学生，发明了现在称为“穷竭法”的方法，即通过有限的步骤得出问题的答案，步骤越多，就越接近答案。穷竭法对应于希腊数学里的极限思想，它是两千多年后所创立的微积分学中蕴含的主要思想。





三 希腊几何学

欧几里德(Euclid, 300BC~?)

欧几里德是历史上最著名的数学家之一，或者说“欧几里德”是数学史上最有名的名字之一。欧几里德的目标是将几何学变为一门纯粹的演绎科学。欧几里德最有名的著作是《几何原本》(Elements)。《几何原本》是一本数学教科书，包含了希腊人几何的许多重要的思想和定理。



然而，《几何原本》最重要之处在于欧几里德研究几何学的方法：公理化的方法。从已知的结论出发，通过演绎推理得到新的结果。而问题在于如何知道“已知的结论”是正确的呢？《几何原本》的第一章第一节中，欧几里德给出了十条公理和公设。公理和公设假定是正确的，它们不需要证明。它们不能被证明为正确或者错误的原因在于：公理和公设决定了这种几何学是什么。公理和公社就像游戏规则，如果改变了它们就改变了几何本身。



在十条公理和公设中，第五公设，即平行公设引发了两千多年的争论。

阿基米德(Archimedes, 287BC~212BC)

阿基米德可能受教于欧几里德的学生。《方法》(The Method)是阿基米德最著名的著作之一。《方法》并不是通常意义上的数学著作。它道出了阿基米德研究问题的方式：在试图从数学角度证明一个想法之前，他是如何着手研究这个想法的。



在《论球和圆柱》(On the Sphere and Cylinder)中，阿基米德证明了球的体积是包含它的最小圆柱面积的三分之二。在《论螺线》(On Spirals)中，研究了螺线的性质。此外还研究了如何计算各种各样的面积。

阿波罗尼奥斯(Apollonius, 262BC~190BC)

阿波罗尼奥斯可能受教于欧几里德的学生。最著名的著作是《圆锥曲线论》(Conicorum)。其中，阿波罗尼奥斯首先总结了包括欧几里德在内的前人的工作，然后突然发力，用富有创造性的方法解决难题。有时候他对相同问题给出了多种解法，每种解法都是从不同侧面对问题本质的深刻理解。



阿波罗尼奥斯用不同的平面截取圆锥，从而得到三种不同的曲线：椭圆，抛物线和双曲线。并研究了这三种基本曲线的许多性质。阿波罗尼奥斯用综合的方法来论述，不使用代数。



阿波罗尼奥斯曾经说过：数学就是为它自身而研究。

帕普斯(Pappus, 300~?)

帕普斯被认为是古希腊最后一位伟大的、有完整著作流传下来的数学家。其主要著作是《数学汇编》(Collection)。帕普斯谈到了许多古希腊数学中最重要的著作，给出评注，并提出对原著的改进。



帕普斯也对尚未解决的古希腊三大著名几何问题(倍立方体、三等分任意角、化圆为方)感兴趣。帕普斯将几何问题分为三类不同问题：“平面”问题、“立体”问题、和“线性”问题。他未经证明的指出三大几何问题不属于平面问题。



帕普斯的另一个发现是帕普斯定理。发现了点的性质和线的性质之间的对称性，称为“对偶性”。对偶性被证明是射影几何发展中非常重要的概念。