什么是晶圆的共面度

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晶圆的共面度是指晶圆上所有bump（即电连接点）所在的平面的共面程度，也可以理解为这些点在三维空间中的分布是否处于同一平面上。通常，共面度的值越接近1，说明这些bump的分布越接近于一个平面。共面度通常用于检查晶圆制造过程中bump的加工质量，以及检测晶圆表面的平整度。

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继续，共面度和三坐标检测里的平面度有啥区别？
共面度和平面度都涉及到了平面的概念，但它们的应用场景和计算方法有所不同。

共面度主要用于晶圆加工和检测，是指晶圆上的所有bump是否在同一个平面上，通常使用测量方法计算。

平面度通常是在三坐标测量中使用的概念，是指一个平面与某个参考平面之间的最小距离，用来衡量该平面的平整度。计算平面度通常需要进行三坐标测量，得到平面的三维坐标数据，然后根据计算公式进行计算。

虽然这两个概念都与平面有关，但是它们的计算方法和应用场景有所不同。

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继续，用c#代码计算晶圆的最小二乘法的共面度和三坐标检测里的平面度

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计算晶圆最小二乘法共面度可以使用数学库中的线性回归方法。下面是一个使用 C# Math.NET Numerics 库进行晶圆最小二乘法共面度计算的示例代码：
using MathNet.Numerics.LinearRegression;

public static double CalculateFlatness(double[][] data)
{
    // 将 x 和 y 坐标分离为两个数组
    double[] xData = data.Select(p => p[0]).ToArray();
    double[] yData = data.Select(p => p[1]).ToArray();

    // 执行线性回归计算最小二乘法拟合直线
    Tuple<double, double> regression = SimpleRegression.Fit(xData, yData);

    // 计算拟合直线的残差平方和
    double residuals = 0;
    for (int i = 0; i < data.Length; i++)
    {
        double yPredicted = regression.Item1 * data[i][0] + regression.Item2;
        residuals += Math.Pow(yPredicted - data[i][1], 2);
    }

    // 计算标准差
    double standardDeviation = Math.Sqrt(residuals / (data.Length - 2));

    // 计算共面度
    double flatness = standardDeviation / Math.Sqrt(data.Sum(p => Math.Pow(p[1], 2)) / data.Length);

    return flatness;
}

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上述代码中，data 是一个二维数组，包含了晶圆的所有坐标数据。代码首先将 data 中的 x 和 y 坐标分离为两个数组，然后使用 SimpleRegression.Fit 方法计算最小二乘法拟合直线。接着，代码计算拟合直线的残差平方和，并使用该值计算标准差。最后，代码根据标准差计算晶圆的最小二乘法共面度。

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续，用c#代码和最小二乘法计算晶圆共面度，计算要越快越好

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使用C#计算晶圆的最小二乘法共面度可以采用矩阵运算，具体步骤如下：

    首先将所有待测点的坐标存储到一个二维数组中，假设该数组为 points，其中每一行代表一个点，每一列代表一个坐标轴。

    为了方便计算，需要将每个点的坐标都减去一个基准点的坐标，以确保所有点都处于同一坐标系下。假设选择第一个点为基准点，则需要执行以下代码：
double[] baseCoord = new double[] { points[0, 0], points[0, 1], points[0, 2] };

for (int i = 0; i < points.GetLength(0); i++)
{
    points[i, 0] -= baseCoord[0];
    points[i, 1] -= baseCoord[1];
    points[i, 2] -= baseCoord[2];
}
然后，将点集中的所有点看作是一组多元一次方程，使用最小二乘法来求解该方程组的最优解，即平面法向量。设该平面法向量为 (a, b, c)，则可以得到如下代码：
int numPoints = points.GetLength(0);

// 构造矩阵 A 和向量 b
double[,] A = new double[numPoints, 3];
double[] b = new double[numPoints];

for (int i = 0; i < numPoints; i++)
{
    A[i, 0] = points[i, 0];
    A[i, 1] = points[i, 1];
    A[i, 2] = 1;
    b[i] = -points[i, 2];
}

// 使用最小二乘法求解矩阵 A 和向量 b
double[,] AT = Matrix.Transpose(A);
double[,] ATA = Matrix.Multiply(AT, A);
double[] ATb = Matrix.Multiply(AT, b);
double[] x = Matrix.Solve(ATA, ATb);

// 计算平面法向量
double a = x[0];
double b = x[1];
double c = 1;
double norm = Math.Sqrt(a * a + b * b + c * c);
a /= norm;
b /= norm;
c /= norm;
最终得到的 (a, b, c) 即为晶圆的法向量，其共面度可以定义为所有点到该平面的距离平方和的平均值。

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继续，用c#计算所有点到该平面的距离平方和的平均值。
假设已经得到了晶圆平面的法向量 $n$ 和一个过该平面的点 $P_0$，以及晶圆上的一系列点 $p_1, p_2, \ldots, p_n$，可以使用以下代码计算所有点到该平面的距离平方和的平均值：
public static double CalculateMeanSquaredDistanceToPlane(Vector3D normal, Point3D pointOnPlane, IEnumerable<Point3D> points)
{
    int count = 0;
    double sumSquaredDistance = 0.0;

    foreach (Point3D point in points)
    {
        double distance = DistanceToPlane(normal, pointOnPlane, point);
        sumSquaredDistance += distance * distance;
        count++;
    }

    if (count > 0)
    {
        return sumSquaredDistance / count;
    }
    else
    {
        return 0.0;
    }
}

public static double DistanceToPlane(Vector3D normal, Point3D pointOnPlane, Point3D point)
{
    return Vector3D.DotProduct(normal, point - pointOnPlane);
}
其中 Vector3D 和 Point3D 是 System.Windows.Media.Media3D 命名空间中的类，分别表示三维向量和点。可以使用 NuGet 包管理器将 WPF 依赖项注入到项目中以使用这些类。

这里的 CalculateMeanSquaredDistanceToPlane 方法接受平面法向量 normal、平面上的一个点 pointOnPlane 和晶圆上的一系列点 points 作为参数。它使用 DistanceToPlane 方法计算每个点到该平面的距离，将这些距离的平方加起来并计算平均值。

DistanceToPlane 方法接受平面法向量 normal、平面上的一个点 pointOnPlane 和一个点 point 作为参数。它计算点 point 到该平面的距离，即点 point 到平面上一点到点 point 的向量在平面法向量上的投影长度。

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继续，用c#代码和最小二乘法和egien库计算晶圆共面度，计算要越快越好
使用Eigen库进行计算可以大大提高计算速度。下面是使用C#和Eigen库计算晶圆共面度的示例代码：
using System;
using EigenSharp;

public static double CalcWaferCoplanarity(VectorXd X, VectorXd Y, VectorXd Z)
{
    int n = X.Size;
    MatrixXd A = new MatrixXd(n, 3);
    VectorXd b = new VectorXd(n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        A[i, 0] = X[i];
        A[i, 1] = Y[i];
        A[i, 2] = 1.0;
        b[i] = Z[i];
    }

    Vector3d solution = A.BdcSvd().Solve(b);
    double a = solution[0];
    double b = solution[1];
    double c = solution[2];

    double sumOfDistSquared = 0.0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        double dist = a * X[i] + b * Y[i] + c - Z[i];
        sumOfDistSquared += dist * dist;
    }
    double RMS = Math.Sqrt(sumOfDistSquared / n);

    return RMS;
}
其中，使用了EigenSharp库中的MatrixXd和VectorXd来表示矩阵和向量，以及BdcSvd()函数进行奇异值分解。函数CalcWaferCoplanarity接收三个VectorXd类型的参数X、Y和Z，分别代表晶圆上点的横坐标、纵坐标和高度，返回晶圆的共面度（均方根误差）。在函数内部，首先将输入的三个向量转换为矩阵形式，并调用BdcSvd()函数进行奇异值分解求解最小二乘解。然后计算每个点到该平面的距离平方和的平均值。