如何计算 点到椭圆的最短距离？

huangyhg

如何计算 点到椭圆的最短距离？

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什么时候投影法误差更大？
当椭圆长轴和短轴相差较大（偏心率高）时，误差更明显。
当点 P 远离椭圆时，投影法的 t 偏差会加大，误差随之增加。
当点 P 接近椭圆轴方向（x 轴或 y 轴）时，误差较小。

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#include <cmath>
#include <iostream>

#define MAX_ITER 50       // 最大迭代次数
#define EPSILON 1e-10     // 允许的误差阈值

double NewtonSolveForEllipse(double t_init, double a, double b, double x, double y) {
    double t = t_init;
   
    for (int i = 0; i < MAX_ITER; ++i) {
        double cosT = cos(t);
        double sinT = sin(t);

        double f = (a * cosT - x) * a * sinT + (b * sinT - y) * b * cosT;
        double f_derivative = a * cosT * (a * cosT - x) + b * sinT * (b * sinT - y);

        // 终止条件：如果 f 已经足够小，则认为收敛
        if (fabs(f) < EPSILON) {
            break;
        }

        // 更新 t
        t -= f / f_derivative;
    }
   
    return t;
}

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double a = 5.0, b = 3.0; // 椭圆长轴 a，短轴 b
double x = 6.0, y = 4.0; // 测试点 (x, y)

// 计算初始 t 值
double t_init = atan2(y * a, x * b);

// 用 Newton 方法优化 t
double t_optimized = NewtonSolveForEllipse(t_init, a, b, x, y);

// 计算最近点
double closest_x = a * cos(t_optimized);
double closest_y = b * sin(t_optimized);

std::cout << "最近点：" << closest_x << ", " << closest_y << std::endl;