如何正确计算 3D 距离？

huangyhg · 发表于 5 天前

如何正确计算 3D 距离？

huangyhg · 发表于 5 天前

#include <cmath>

static double Distance(const double p1[], const double p2[]) {
if (NULL == p1 || NULL == p2) {
return 0;
}
double dx = p1[0] - p2[0];
double dy = p1[1] - p2[1];
double dz = p1[2] - p2[2];

// 先计算 2D 距离，然后再加上 z 轴的影响
return std::hypot(std::hypot(dx, dy), dz);
}

huangyhg · 发表于 5 天前

为什么点集会有误差？
double ddot(int n, const double x[], const double y[])
{
double dot = 0.;
if (nullptr == x || nullptr == y)
{
      return dot;
}
if (n < 1)
      return 0.;
for (int i = 0; i < n; i++)
      dot += x[i] * y[i];  // <-- 这里可能会有浮点误差累积
return dot;
}

huangyhg · 发表于 5 天前

误差来源
浮点数舍入误差

每次 x * y 计算时，都会有微小的舍入误差。

由于 dot += x * y 累加多个值，误差会不断积累。

数值较大时，精度丢失

如果 x 和 y 的数值很大（例如 1e+15 级别），而它们的小数部分变化较小，那么在累加过程中，小的变化可能会被忽略，导致精度丢失。

浮点数的加法 (Associativity Problem)

在浮点运算中，加法不是严格满足结合律的：

(
𝑎
+
𝑏
)
+
𝑐
≠
𝑎
+
(
𝑏
+
𝑐
)
(a+b)+c

=a+(b+c)
如果 x * y 计算出的值跨度很大（比如 1e-10 和 1e+10 同时累加），小的数值可能会被忽略（即 Catastrophic Cancellation 现象）。

huangyhg · 发表于 5 天前

如何优化？
✅ 1. 使用 Kahan Summation Algorithm
Kahan 求和算法能够减少累积误差：

cpp
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double ddot(int n, const double x[], const double y[])
{
double dot = 0.0;
double c = 0.0; // 补偿误差
if (nullptr == x || nullptr == y)
{
      return dot;
}
if (n < 1)
      return 0.;

for (int i = 0; i < n; i++) {
      double product = x * y;
      double y = product - c;
      double t = dot + y;
      c = (t - dot) - y;
      dot = t;
}
return dot;
}
🔹 优势

减少精度损失：用 c 变量补偿小数部分，防止被丢失。

更适用于长向量：当 n 很大时，能降低误差累积。

huangyhg · 发表于 5 天前

2. 使用 std::fma()（Fused Multiply-Add, FMA）
如果你的 CPU 支持 FMA（Intel AVX2 及以上），可以用 std::fma() 进行更精准的计算：

cpp
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#include <cmath> // 需要 C++11 以上

double CommonMathUtil::ddot(int n, const double x[], const double y[])
{
double dot = 0.;
if (nullptr == x || nullptr == y)
{
      return dot;
}
if (n < 1)
      return 0.;

for (int i = 0; i < n; i++) {
      dot = std::fma(x[i], y[i], dot);  // 直接计算 x[i] * y[i] + dot，避免中间值丢失
}
return dot;
}
🔹 优势

std::fma(a, b, c) 不会单独计算 a*b 后再加 c，而是直接计算 (a*b) + c，减少舍入误差。

速度更快：现代 CPU 直接支持 FMA 指令，比 + 和 * 分开计算更快。

huangyhg · 发表于 5 天前

3. 采用 OpenMP 并行计算（适用于大向量）
如果 n 很大，可以用 OpenMP 并行计算点积：

cpp
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#include <omp.h>

double ddot(int n, const double x[], const double y[])
{
double dot = 0.;
if (nullptr == x || nullptr == y || n < 1)
return dot;

#pragma omp parallel for reduction(+:dot)
for (int i = 0; i < n; i++) {
dot += x * y;
}
return dot;
}
🔹 优势

并行计算，提高性能（尤其适用于 n > 1e6 的情况）。

减少串行累积误差，因为 OpenMP 采用多线程分块计算，避免单线程累计误差。

huangyhg · 发表于 5 天前

结论
直线 B 位置不同（linePoint 变动）会影响计算结果！
如果 A 和 B 不是共面直线（一般 3D 直线不会共面），那么 distance difference 不是固定的，而是取决于 linePoint！
选择 linePoint 时，建议选 A 的中点，以减少误差和变化幅度。

所以，你的结果变化是正常的，因为在 3D 空间里，点到直线的距离不是固定的，它取决于计算时选取的 linePoint！

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