史上第一个算法:欧几里得算法

cam

史上第一个算法:欧几里得算法
历史上第一个称得上算法的好像就是这个欧几里得算法，其实就是地球人都知道的辗转相除。

简单的描述就是，记gcd(a,b)表示非负整数a,b的最大公因数，那么：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

写成程序很简单，不管是用递归还是循环：

int gcd(int a,int b)
{
if(a==0)
return b;
if(b==0)
return a;
return gcd(b,a%b);
}

cam

Euclid算法与RSA
问:a,b不用比较大小?

cam

Stein算法，另外一个计算最大公约数的方法
Stein算法
欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，他无论从理论还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷，这个缺陷只有在大素数时才会显现出来。

考虑现在的硬件平台，一般整数最多也就是64位，对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。

Stein算法由J. Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法 算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。

为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：

gcd(a,a) = a，也就是一个数和他自身的公约数是其自身
gcd(ka,kb) = k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换，特殊的，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除
有了上述规律就可以给出Stein算法如下：

如果A=0，B是最大公约数，算法结束
如果B=0，A是最大公约数，算法结束
设置A1 = A、B1=B和C1 = 1
如果An和Bn都是偶数，则An+1 =An /2，Bn+1 =Bn /2，Cn+1 =Cn *2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)
如果An是偶数，Bn不是偶数，则An+1 =An /2，Bn+1 =Bn ，Cn+1 =Cn (很显然啦，2不是奇数的约数)
如果Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1 =Bn /2，An+1 =An ，Cn+1 =Cn (很显然啦，2不是奇数的约数)
如果An和Bn都不是偶数，则An+1 =|An -Bn|，Bn+1 =min(An,Bn)，Cn+1 =Cn
n++，转4
这个算法的原理很显然，所以就不再证明了。现在考察一下该算法和欧几里德方法效率上的差别。

考虑欧几里德算法，最恶劣的情况是，每次迭代a = 2b -1,这样，迭代后，r= b-1。如果a小于2N，这样大约需要 4N次迭代。而考虑Stein算法，每次迭代后，显然AN+1BN+1≤ ANBN/2，最大迭代次数也不超过4N次。也就是说，迭代次数几乎是相等的。但是，需要注意的是，对于大素数，试商法将使每次迭代都更复杂，因此对于大素数Stein将更有优势。

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

unsigned int gcd(unsigned int a,unsigned int b)
{
if(a == 0)
return b;
if(b == 0)
return a;
int p = 0;
label: while((!(a % 2)) && (!(b % 2)))
{
a /= 2;
b /= 2;
p ++;
}
while(!(a % 2))
{
a /= 2;
}
while(!(b % 2))
{
b /= 2;
}

if((b % 2) && (a % 2))
{
unsigned int temp;
temp = a;
a = b;
b = temp > b ? temp - b:b - temp;
}
if(b != 0)
goto label;
return a * pow(2,p);

}
int main(){
unsigned int i = gcd(456789988888,77888888888);
cout<<i;
system("pause");
}

int g_cd2(int a,int b)
{
int c=1;
int m=a,n=b;
while(m!=0&&n!=0)
{
if (m%2==0&&n%2==0)
{
m /= 2;
n /= 2;
c *= 2;
continue;
}
if (m%2==0&&n%2!=0)
{
m /= 2;
continue;
}
if (m%2!=0&&n%2==0)
{
n /= 2;
continue;
}
if (m%2!=0&&n%2!=0)
{
int i=m;
m= m>n ? m-n:n-m; //m=abs(m-n);
if(i<n)
n=i;
continue;
}
}
if (m==0)
return n*c;
if (n==0)
return m*c;
}

这是微软的一个sdk里的代码，可以参考一下，我觉得比较简单也高效
int GCD(int a, int b)
{
int gcd;

if (a < b)
{
gcd = GCD(b, a);
}
else
{
assert(a > 0);
assert(b >= 0);

while (b != 0)
{
int t = a % b;
a = b;
b = t;
}

gcd = a;
}

return gcd;
}