数学分支巡礼之二十五：数学物理学

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数学分支巡礼之二十五



数学物理学是以研究物理问题为目标的数学理论和数学方法。它探讨物理现象的数学模型，即寻求物理现象的数学描述，并对模型已确立的物理问题研究其数学解法，然后根据解答来诠释和预见物理现象，或者根据物理事实来修正原有模型。

    物理问题的研究一直和数学密切相关。作为近代物理学始点的牛顿力学中，质点和刚体的运动用常微分方程来刻画，求解这些方程就成为牛顿力学中的重要数学问题。这种研究一直持续到今天。例如，天体力学中的三体问题和各种经典的动力系统都是长期研究的对象。

    在十八世纪中，牛顿力学的基础开始由变分原理所刻画，这又促进了变分法的发展，并且到后来，许多物理理论都以变分原理作为自己的基础。

    十八世纪以来，在连续介质力学、传热学和电磁场理论中，归结出许多偏微分方程通称数学物理方程(也包括有物理意义的积分方程、微分积分方程和常微分方程)。直到二十世纪初期，数学物理方程的研究才成为数学物理的主要内容。

    此后，联系于等离子体物理、固体物理、非线性光学、空间技术核技术等方面的需要，又有许多新的偏微分方程问题出现，例如孤立子波、间断解、分歧解、反问题等等。它们使数学物理方程的内容进一步丰富起来。复变函数、积分变换、特殊函数、变分法、调和分析、泛函分析以至于微分几何、代数几何都已是研究数学物理方程的有效工具。

    从二十世纪开始，由于物理学内容的更新，数学物理也有了新的面貌。伴随着对电磁理论和引力场的深入研究，人们的时空观念发生了根本的变化，这使得闵科夫斯基空间和黎曼空间的几何学成为爱因斯坦狭义相对论和广义相对论所必需的数学理论。许多物理量以向量、张量和旋量作为表达形式在探讨大范围时空结构时，还需要整体微分几何。

    量子力学和量子场论的产生，使数学物理添加了非常丰富的内容。在量子力学中物质的态用波函数刻画，物理量成为算子，测量到的物理量是算子的谱。在量子场论中波函数又被二次量子化成为算子，在电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用中描述粒子的产生和消灭。

    因此，必须研究各种函数空间的算子谱、函数的谱分析和由算子所形成的代数。同时还要研究微扰展开和重正化(处理发散困难)的数学基础。此外，用非微扰方法研究非线性场论也是一个令人注目的课题。

    物理对象中揭示出的多种多样的对称性，使得群论显得非常有用。晶体的结构就是由欧几里得空间运动群的若干子群给出。正交群和洛伦茨群的各种表示对讨论具有时空对称性的许多物理问题有很重要的作用。

    基本粒子之间，也有种种对称性，可以按群论明确它们的某些关系。对基本粒子的内在对称性的研究更导致了杨-米尔斯理论的产生。它在粒子物理学中意义重大，统一了弱相互作用和电磁相互作用的理论，提供了研究强子结构的工具。这个理论以规范势为出发点，而它就是数学家所研究的纤维丛上的联络(这是现代微分几何学中非常重要的一个概念)。有关纤维丛的拓扑不变量也开始对物理学发挥作用。

    微观的物理对象往往有随机性。在经典的统计物理学中需要对各种随机过程的统计规律有深入的研究。

    随着电子计算机的发展，数学物理中的许多问题可以通过数值计算来解决，由此发展起来的“计算力学”“计算物理”都发挥着越来越大的作用。计算机直接模拟物理模型也成为重要的方法。此外各种渐近方法也继续获得发展。

    科学的发展表明，数学物理的内容将越来越丰富，解决物理问题的能力也越来越强。其他各门科学，如化学生物学、地学、经济学等也广泛地利用数学模型来进行研究。数学物理中的许多方法和结果对这些研究发挥了很好的作用。

    在工程科学中，处处需要精确地求解物理问题，所以数学物理对于技术进步也有非常重要的意义。此外，数学物理的研究对数学有很大的促进作用。它是产生数学的新思想、新对象、新问题以及新方法的一个源泉。