截面廓线的光滑样条拟合

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过同一组数据点且具有相同边界几何约束的两条平面插值曲线相对光顺性的4项判据或准则：

1） 二阶几何连续（指位置、切线方向与曲率矢连续，简称曲率连续）；

2） 不存在奇点与多余拐点；

3） 曲率变化较小；

4） 应变能较小；

绘制平面曲线相对曲率随曲率随弧长变化的图形，即曲率图，这为曲线光顺提供了一种工具。

对于曲线来说，曲率函数、弗朗内特标架的连续性完全确定。曲率图可以作为曲线光顺的定义：如果曲线是光顺的，那么它的曲率图是连续的且仅由一些单调段组成。



光顺性分析

小挠度下的三次样条基函数，其C2可微性保证了二阶几何连续，奇点根本不可能出现，最多只出现一个拐点，同时满足应变能极小，曲率函数呈线性变化。总具有良好的光顺性。

但是当相邻弦长比相差太悬殊时，弦线短的那段就会因两端点的切矢模长与弦长比过长而变得太鼓。





根据目前的研究成果来看，光顺问题首先从节点参数化着手进行了研究。积累弦长参数化由于消除了均匀参数三次样条曲线可能出现的不光顺，使光顺性获得很大的改善，但对于出现较大折拐和数据点弦长相差较为悬殊时就不能令人满意。对于这种曲线就不能应用于实际工程。

向心参数化试图解决这个问题。能够在改善曲线的光顺性上收到相当程度的效果，但对共线和接近共线的不均匀分布数据点，插值可能出现过冲现象。也不能应用于实际。

福利的修正弦长参数化，其结果里具体反映了数据点多边形的折拐情况。当数据点共线时，它给出与弦长参数化完全一致的结果，避免了向心参数化的问题。在相邻弦长比固定时，向心参数化的相邻节点区间长度比就固定不变。修正弦长参数化随数据点多边形矢量转角的增大，相邻节点区间长度比较小，故整条曲线的光顺性能都得到较好的改善。





光顺问题处理

对于插值问题来说，光顺法通常是指通过修改数据点以使生成的插值曲线光顺性能得到改善的方法。

但生成的插值曲线不光顺，不能认为给定的数据点不好，或者把数据点不好当成第一原因。首先应该分析一下各种插值曲线本质上会存在什么问题，有无可以避免的方法。

均匀样条曲线不适合数据点弦长分布不均匀尤其是相邻相差太悬殊的场合。

向心参数化不能反映数据点折拐情况。

如果修正弦长参数化来表示曲线还有问题的化就只能检查边界条件，如果再不能解决这个问题，就只有选择修改数据点一途。

目前尚给不出确切的方便实用的光顺性定量判据，因此目前可行的只能是交互式半自动光顺法。目前在实际中应用的光顺方法可描述为：设p(u)是一条C2参数三次样条曲线，其中有一点处Pi =p(ui)需要光顺处理。

步骤一：用插值点Pi-1,Pi+1及其切矢Pi-1’, Pi+1’的参数三次曲线段取代原来的曲线段p(u)（）。但生成的曲线不再C2连续；

步骤二：构造另一条新的B样条曲线，插值于除Pi外的原始数据点和边界条件，点Pi由更好的位置q(ui)所替代。
未完待续