【转帖】什么是矩阵条件数

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矩阵A条件数定义为
k(A) = ||A^(-1)||.||A||,
在任何自洽的矩阵范数中。这个定义依赖于范数的选取。

若||.|| 是 l_2 矩阵范数则
k(A) = σmax(A)/σmin(A)
其中σmax(A)和σmin(A)分别是A的极大和极小奇异值。因此

若A是矩阵范数则
k(A) = lamda_max/lamda_min
lamda_max, lamda_min 分别是A的极大和极小（根据模数）特征值.

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定义:若非奇异称为的条件数。其中表示矩阵的某种范数。

　　用矩阵及其逆矩阵的范数的乘积表示矩阵的条件数，由于矩阵范数的定义不同，因而其条件数也不同，但是由于矩阵范数的等价性，故在不同范数下的条件数也是等价的。矩阵条件数的大小是衡量矩阵“坏”或“好”的标志。

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对于线性方程组,若系数矩阵有小扰动这时方程组的解也有扰动，于是。对的影响可表示为：

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                     (1)

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若常数有小扰动,其对的影响表示为：

　　　　　                       　 （2）

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因此，大的矩阵称为“坏矩阵”或“病态矩阵”。对于大的矩阵，小的误差可能会引起解的失真。一般说来，若的按模最大特征值与按模最小特征值之比值较大时，矩阵就会呈病态。特别地，当很小时，总是病态的。

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我想问矩阵特征值之间的差异表示什么性质？
[email="david-astr@sohu.com"][/email]在空间上表现为特征向量伸长的倍数