笔记3：几何学－空间和形式的语言

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第三部分 坐标几何学

一      解析几何学(Analytic Geometry)的起源

解析几何学――问题和解都是用代数学来表示。坐标(Coordinate)是代数学和几何学之间的桥梁，使得数学家能够把几何空间理解为可以在代数学中处理的数集。

梅内克缪斯(Menaechmus, 380BC~320BC)

梅内克缪斯传说是欧多克索斯的学生，研究圆锥曲线。在研究“比例中项”的问题时，他似乎用某种普遍的方式看待变量之间的关系。人们有时称梅内克缪斯时第一位使用坐标的古代数学家。

阿波罗尼奥斯(Apollonius, 262BC~190BC)

阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线的性质时，第一次系统化的使用了坐标系。他用圆锥曲线本身构造出一种坐标系。其中一个轴是一条与圆锥曲线相切的直线，另一条是圆锥曲线的直径。最终得到的坐标系是斜坐标系。这与现在普遍使用的直角坐标系不同。相互垂直的坐标系会简化某些类型的计算，但在数学理论上坐标系没有互相垂直的必要。

笛卡尔(Descartes, 1596~1650)

笛卡尔被人们冠以解析几何发明者的称号。笛卡尔的主要工作包含在《方法论》(Discourse on method)一书中。此书致力于阐述几何学和代数学的关系。笛卡尔在用几何学的语言重述代数学的问题时，他等于在回顾前辈们所取得的数学成果。



笛卡尔的重要创新是用代数学的语言表述几何学的问题。他抛弃了前辈们解释代数项的方式(如何解释？)。他用方程的形式表示几何曲线，可以容易的做出任意条曲线，增加了数学家研究曲线的种类(在古希腊时代，仅十二种曲线)。笛卡尔的思想是数学史上的一个转折点。



但笛卡尔没有使用解析几何中的一个最重要的方法——绘制函数的图像。

费马(Fermat, 1601~1665)

费马在重新构建阿波罗尼奥斯的著作时，发现可以使用坐标系将代数学应用到几何学上。他的见解是独立于笛卡尔作出的，标志着几何学的第二个来源。费马的重点与笛卡尔略有不同：费马在坐标系中绘制函数图形。



费马的另一个著名发现起源于他在研究古希腊数学家丢番图的著作。对任意一个大于2的正整数n，不存在满足 这个方程的三元正整数组，被称为费马大定理(Fermat’s Last Theorem)。



费马撰写了大量著作。他和帕斯卡一起奠定了概率论的基础。费马发展了后来对微积分这个学科十分重要的概念，还热衷于数论的研究。





二      微积分与解析几何学

莱布尼茨(Leibniz, 1647~1716)

莱布尼茨对没有联系的思想进行统一有兴趣，致力于协调所有的知识分支。莱布尼茨与牛顿一样，是微积分的发明者。他使用微积分分析曲线和曲面。

牛顿(Newton, 1643~1727)

牛顿认为解析几何能更好的适用于微积分。牛顿对笛卡尔坐标系的理解比他的前辈要宽泛得多，他自由的使用负坐标系，使其能够思考函数的整个图形。通过使用四维的笛卡尔坐标系，牛顿表述他关于时间和空间的宇宙几何学观念，几个世纪以来一直居于西方科学的核心地位。牛顿还发明了极坐标系。

欧拉(Euler, 1707~1783)

欧拉在立体解析几何上的工作是开天辟地的，他对三维对象的解析表述比任何人都更为深入。欧拉对立体解析几何的研究包括：寻求广义的解析表达式；使用函数对曲面进行参数化表示；测地线(Geodesic)：曲面上的两点之间的最短距离。



三      微分几何学

高斯(Gauss, 1777~1855)

欧拉强调从整体上刻画对象，而不是分析一个曲面在一个点的领域内的性质(局部分析，Partial Analysis)。高斯是第一个看到局部分析价值的第一人，被公认为微分几何的创始人。



高斯对微分几何学的重要贡献之一是对曲面上一点曲率的研究，称为高斯曲率(Gaussian Curvature)。



微分几何使数学家开始考虑如何研究曲面的数学问题：怎样在弯曲的平面上建立坐标？它们有什么性质？弯曲曲面上两个不同的坐标系是怎样联系的？

黎曼(Riemann, 1826~1866)

到目前为止的曲面几何学，一直是在曲面外部，如果我们位于一个非常大的曲面，不能逃离这个曲面，也不能看到这个曲面的外部，这种情况导致了“内蕴几何学”的产生，黎曼就是解答这个问题的数学家。



黎曼提出了对第五公设的替代：已知一条直线和该直线外一点，不存在过这点且与已知直线平行的直线。设想了一个测地线系统。黎曼提出了弯曲空间的思想：不管空间的维数是多少，如果空间两点的距离由广义的毕达哥拉斯定理给出，那么这个空间就是欧几里德空间。如果距离不能用毕达哥拉斯定理计算，那么这个空间必定是弯曲空间。实际距离与用毕达哥拉斯定理计算出来的距离的偏差的大小极为空间曲率。



四      无限维几何学

希尔伯特(Hilbert, 1852~1943)

希尔伯特将有限维空间扩展到无限维空间，称为“希尔伯特空间”(Hilbert Space)。研究无限维空间的价值在于它们能够使我们以一种崭新的方式来理解函数。函数被描述成空间中的点。这样的“函数空间”能够把欧几里德几何学的知识和函数集以及函数的分析联系起来。