【转帖】关于熵（1）

huangyhg

关于熵（1）
http://limiao.net/192

最近Tom Banks写了一篇关于宇宙初始条件的文章：

Entropy and initial conditions in cosmology

这是传统的arXiv，该文自然也能在另一个看起来更加先进的镜像看到：

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熵这个概念也许是物理学中最重要的概念之一，应该和类似能量、粒子这些概念一样重要，在物理学的发展中起到非常重要的作用。

Banks这篇文章的风格一如既往，用只有Banks本人才能欣赏的方式告诉大家他是如何思考的，读者如果没有一定背景，不重复地思考，肯定不明白他在说什么。他的前学生Motl最近写了一篇博文论证前导师讨论的这个问题根本不是一个问题。虽然Motl还是那么不留情面，我基本上同意他的观点。

我们后面有工夫再来讨论Motl的观点，先来回顾一下什么是熵。

熵这个概念的引进应该是Rudolf Clausius，他也给出热力学第二定律的第一个明显的表述。熵的最早定义当然是热力学中的定义。人们发现如果两个有着不同温度的物体接触，热一点的那个物体的温度会降低，冷一点的那个物体的温度会提高，这是热力学第二定律最简单也最常见的现象。如果我们假定较冷的那个物体吸收了热量，那么较热的那个物体就释放出热量，这个热量相等。很明显，如果我们定义总体系熵的改变是



是那个较低的温度，

是较高的温度，取

为较低温度物体吸收的热量，那么熵的改变总是正的。这样，就基本熵定义了每个物体熵的改变：




其中

是物体的温度。

在统计物理中，Boltzmann第一个引进熵的定义。如果一个经典物体的宏观状态占据了微观状态相空间的一定体积

，那么该物体的统计熵就是

，这里，我假定温度的单位也是能量，所以Boltzmann常数取1。这个熵，除了一个未定的常数外，等于热力学中定义的熵。

在Boltzmann的时代，熵的定义中有一个常数不能确定，这本质上归结为相空间体积的单位不能确定。有了量子力学以后，由于Planck常数等于两维相空间面积的单位，所以我们将相空间除以Planck常数的一定幂次，就能确定熵的绝对大小。这里有一个简单的物理原因，在半经典近似下，

就是这个相空间体积所对应的量子态的个数。

这样，热力学第二定律就很容易理解，一个孤立体系的宏观状态所占的微观相空间体积总是随着时间而增长，至少不会减少。在直观上，没有比这个更自然的了，随着时间增长，物体的微观状态总是变得越来越“普通”。例如，一个杯子被摔到地上，水溅开来，杯子打碎了，这是常见的现象。我们很少看到一个打碎的杯子会自动收集流散在地上的水，然后自动跳到人的手中。也许，我们中国人作出了五大发明而不是四大发明，朱买臣同学在很久之前就给出了热力学第二定律的表述：覆水难收。同样，一个鸡蛋只会被打碎，一个煎好的鸡蛋不会将热量释回去，然后渐渐变成打碎前的生鸡蛋。这是热力学第二定律，学前班的小朋友都会明白的道理。

从量子力学的角度，我们更加容易理解热力学第二定律。热力学第二定律在这里说，一个物体宏观状态对应的微观量子态的数目不会随着时间而减少。这是因为，不同量子态之间有着或多或少的联系，随着时间的增长，量子跃迁使得该系统访问越来越多的量子态。

那么我们问，为什么整个宇宙不处于一个最大熵状态？为什么有熵增长的现象？这个问题等价于，为什么宇宙在前一刻的状态总是比下一刻的状态特殊？这是在追问热力学第二定律的起源。任何一个学过统计物理的同学都会自然地问这个问题，因为无论在经典力学还是量子力学中，物理定律是时间反演不变的，也就是说，物理定律本身不能用来判别时间的方向。

对于这个问题的终极回答是，因为宇宙起源于一个非常特殊的状态，也许是一个熵等于0的状态。就是说，我们日常见到的生老病死等一切不可逆现象都可以归结为宇宙的零熵起源。

比如说，我们可以问，科学为什么能够进步？回答是，社会在进步。我们继续问，社会为什么能够进步？回答是，人在不断出生和死亡。我们继续问，人为什么能够出生和长大？回答是，人在消费周围的物体的能量使得周围的体系的熵增大。我们继续问，我们为什么能够消费周围的能量？回答是，我们可以通过各种不可逆过程提取周围的能量，如通过水从高处流到低处来发电。我们继续问，为什么水能够从高处流到低处？回答是，因为地球上水可以通过蒸发和下雨来循环。我们继续问，水为什么能够蒸发？回答是，通过消耗太阳的能源，同时太阳的熵在增大。我们继续问，太阳为什么能够产生能源？回答是，太阳通过引力塌缩引爆核反应产生能源。我们继续问，太阳的引力塌缩怎么来的？……等等，这些问题最后归结为整个宇宙起源于一个非常特殊的状态。

我相信，每一个类似的涉及热力学第二定律的问题经过也许不超过20次提问，最终都归结为宇宙的起源。这很象一个古老的游戏，参加游戏的人被允许提问不多的次数而将最终的答案找出来。

我们绝大多数人都会满足于这个最终答案：宇宙起源于一个特殊状态。在这个起源之前发生了什么，我们不应该再问了。

在基督教中有这么一个说法，上帝在7天之内创造了整个世界，如果谁胆敢问上帝在创世之前做了什么，或者上帝是谁创造的，那么上帝在创世之前为胆敢问这个问题的人准备好了地狱。

Penrose是一个准备下地狱的人，他的一个著名问题就是，宇宙为什么起源于一个熵几乎为0的状态，并且，在引力中，熵小的状态往往对应于Weyl曲率小的状态，他的问题可以这么问：宇宙为什么起源于一个Weyl曲率非常小的状态？

Banks似乎不忍心眼看着Penrose下地狱于是他代替上帝回答了Penrose这个问题。

待续……

附录，网上几个百科全书熵的定义（节选）。