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【讨论】什么是数学

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发表于 2006-10-25 15:39:17 | 显示全部楼层 |阅读模式
<<什么是数学>>
[美]r.柯朗 H.罗宾著



1.数是近代数学的基础
上帝创造了自然数,其余的是人的工作.p6
位置记法是在中世纪由意大利商人从穆斯林那里学会,并引进欧洲的。从此,数表示为一系列带权值(基)的数码符号。

在日常生活中,常用的权值是十,即十进制;在计算机虚拟世界中,常用的权值是二。拉普拉斯(Laplace)说:“莱布尼兹(W.Leibniz)在他的二进制算术中看到了宇宙创始的原象。他用1表示上帝,而用0表示虚无,上帝从虚无中创造出所有事物,恰如在他的数论中用1和0表示了所有的数。”

2.数学是科学的皇后,而数论是数学的皇后

2.1 素数
从可除性建立的一个重要概念是素数.
素数是大于1且只能被1和自身整除的整数.

2.1.1 哥德巴赫(Goldbach)猜想

任何一个偶数(除了2,2本身是个素数)都能表示为两个素数之和。

2.1.2 存在无穷个以P和P+2的形式出现的素数对

素数经常以P和P+2的形式成对出现,例如3和5,11和13,29和31等。
素数(质数)分布的平均状态能用对数函数来描述.p39

2.2 有理数

有理数由整数和分数构成。

2.2.1 有理数的由来

在日常生活中,我们不仅要数单个的对象,而且也需要度量长度、面积、重量和时间等。为了能自如地度量这种能任意细分的量,就必须把算术的范围扩展到自然数的范围之外。若要把度量的问题转变为分段计数的问题(P64),首先,要引进一类(不同细分的)度量单位;其次,在同类度量单位进行换算的过程中,引入了符号m/n,使度量脱离了测量过程以及被测量的具体关系,而被看作是一种纯粹的数。由于这种数本身可作为一个与自然数有同样的地位的实体,被称之为有理数。

2.2.2 有理数的定义

当m和n是自然数时,符号m/n称为有理数。

2.2.3 负数和分数

对自然数而言,为了突破减法的运算限制(如:b-a,当b小于或等于a时,才有解),引进了“负整数”和“0”;为了消除除法的运算限制,引进了“分数”。

2.2.4 有理数的几何解释

有理数可用一条有向直线(数轴)来表示,有理点在直线上是稠密的。

2.3 无理数

2.3.1 无理数的由来

早期毕达哥拉斯学派(希腊)发现,存在着不可公度的线段(P71)。例如:正方形的对角线是不可度量的。于是,将这种非循环小数称为无理数。

2.3.2无理数的定义

若要摆脱对基10的特殊依赖关系,可使用“区间”来定义无理数。而戴特金则采用“集合”来定义无理数。

2.4 实数

任何一个有理数序列,如果“收敛”,则定义为“实数”。康托的定义源自于:

1) 实数可以看成一个无限十进制小数

2) 无限十进制小数可看成有限十进制小数的极限。(疑惑:极限的定义是?

2.5 解析几何(P87)

2.5.1 基本原理

解析几何的基本思想是引进“坐标”,比如,对一条几何线段标上其特征值(起点坐标和终点坐标),从而从某种角度上完全量化了这条几何线段。解析几何的原理就是在引进实数连续的基础上,用实数来度量几何对象的特征量。

2.5.2 扩充的数域(P103)

直到中世纪中叶,数学家才完全意识到,在一个扩充的数域中运算,其逻辑和哲学基础本质上是形式主义的,这扩充的数域必须通过定义来创造,这些定义可以是随意的。但是,从长远来看,如果不能在更大的范围内保持在原来范围内通行的规则和性质,它是毫无用处的。这些扩充可以与“实际”对象相联系,并且可为新的应用作为工具使用。

2.6 复数

2.6.1 复数的由来

为了保证每个二次方程都有解,引进了“复数”。

比如:

方程x^2 =-1的解为x=i(符号);
即引进“虚数”,构造一“复数域”。

2.6.2 复数的几何解释

复数和二维空间中的点一一对应。

比如:

Z=X+Yi,式中, X坐标表示实部,Y坐标表示虚部。

2.7 代数数

2.7.1 代数数的由来

代数数的概念是有理数的自然推广,有理数就是n=1时的特殊情况。

全体代数数是可数的,而实数是不可数的,因此必定存在不是代数数的实数。

2.7.2 代数数的定义

任何一个数x,不论是实数还是复数,如果满足某个形如an·x^n + an-1·x^n-1 +…+ a1·x + a0 = 0(n大于等于1,且an不等于0)的代数方程,其中ak是整数,那么这个数就是代数数。

2.8 超越数

不是代数数的实数称为超越数。比如,e和∏。
 楼主| 发表于 2006-10-25 15:50:53 | 显示全部楼层

回复: 【读书日志之一】什么是数学

黄毛丫丫的读书日志之一。
 楼主| 发表于 2007-2-4 20:12:47 | 显示全部楼层

回复: 【讨论】什么是数学

对数的出现是为了简化航海中的计算。
离散模型的“极限”就是连续模型?
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