二十世纪的数学

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二十世纪的数学

Michael Atiyah

原文出自于http://math.bnu.edu.cn/~lizh/others/math20.htm

回顾二十世纪的数学发展历程，我们首先要在脑海中建立不同时代的人们用不同方式思考问题时的情景。

1.从局部到整体的转变

在十九世纪，人们主要从事研究事物的局部性质，比如，使用坐标等。在二十世纪，人们试图了解事物整体的性质。但是事物的整体性质更加难以研究，大多只能有定性的结果，于是，引进了“拓扑”的思想。拓扑学的先驱是Poincaré，Poincaré预言拓扑学将成为二十世纪数学的一个重要的组成部分。

例如，复分析（也被称为“函数论”），这在十九世纪是数学的中心。对于其代表人物Weierstrass而言，函数就是复变量的函数，可以显式用公式来定义。然而，接下来Abe1，Riemann等人的工作，证实函数可以不用公式来定义，而是通过函数的整体性质来定义，比如，函数的奇异点的分布，定义域，值域等。

同样，对于微分方程，人们不再寻求一个明确的或显式的局部解，而是更多地关注解的奇异性。对于微分几何，Gauss用局部方程描述了在微观空间里的几何实体（表面形貌）的性质，比如，曲率方程。随着几何学的发展，人们开始从整体的角度从事几何拓扑的研究。对于数论，人们开始主要研究单个素数的性质或有限个素数的性质，后来，逐渐发展到研究全体素数的性质。

总言之，数学同物理一样，人们的研究开始从事物的局部性质出发，逐渐拓展到事物的整体性质的研究。