为什么 SVD（Singular value decomposition）的解就是odr正交距离最小的平面矢量？

huangyhg

在解释为什么奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）的解对应于正交距离（Orthogonal Distance Regression, ODR）最小的平面矢量时，我们需要先理解几个关键概念：SVD、平面拟合、以及ODR。
奇异值分解（SVD）

SVD是一种将矩阵分解为三个特定矩阵乘积的方法，即：
A=UΣVT
其中，A 是一个 m×n 矩阵，U 是一个 m×m 正交矩阵，Σ 是一个 m×n 对角矩阵（其非零元素是A的奇异值，按降序排列），VT 是 V 的转置，V 是一个 n×n 正交矩阵。

在平面拟合的上下文中，我们通常将点集（每个点是一个三维向量）组织成一个矩阵，其中行代表点，列代表坐标轴。然后，我们可能对这个矩阵进行SVD，以找到其最重要的特征向量和奇异值。
平面拟合

在三维空间中，一个平面可以由其法线向量和一个通过该平面的点来定义。法线向量垂直于平面上的所有向量。在SVD的上下文中，我们通常寻找与最小奇异值相关联的右奇异向量（即V矩阵的列），因为它对应于数据变化最小的方向，这往往与平面的法线方向相对应。
正交距离回归（ODR）

ODR是一种回归技术，它最小化数据点到拟合模型（在这种情况下是平面）的正交距离，而不是传统的垂直（或投影）距离。正交距离是点到模型（如平面）的最短距离，它垂直于模型本身。
为什么SVD的解对应于ODR最小的平面矢量？

    最小奇异值：在SVD中，最小奇异值对应的奇异向量通常与数据中的最小变化方向相对应。在平面拟合的上下文中，这意味着这个方向最接近于平面的法线方向。

    正交性：ODR要求最小化点到平面的正交距离。由于SVD的奇异向量是正交的，并且最小奇异值对应的奇异向量与数据的最小变化方向对齐，因此这个方向（即平面的法线方向）将最小化点到平面的正交距离。

    几何解释：从几何角度来看，SVD的奇异向量定义了数据的主要方向。最小奇异值对应的奇异向量定义了数据中最不“展开”或最紧凑的方向，这通常对应于平面的法线方向，因为它使得数据点在垂直于该方向（即平面）的投影上最为集中。

综上所述，SVD的解（特别是与最小奇异值相关联的奇异向量）对应于ODR最小的平面矢量，因为它定义了数据中最紧凑的方向，该方向在平面拟合的上下文中对应于平面的法线方向，从而最小化了点到平面的正交距离。