数理逻辑
数理逻辑是用数学方法来研究推理的形式结构和推理规律的数学学科，它与数学的其它分支、计算机科学、人工智能、语言学等学科均有密切的联系。命题逻辑和一阶谓词逻辑是数理逻辑中最成熟的部分，在计算机科学中应用最为广泛，其中命题逻辑是数理逻辑的最基础部分，谓词逻辑是在它的基础上发展起来的。本课程在第一，二两章中介绍数理逻辑的内容。
第一章 命题逻辑
命题符号化及联结词
重点：(1)掌握命题概念
(2)掌握联结词含义及真值表
(3)掌握命题符号化方法
一、命题的概念
命题：能判断真假的陈述句。
例1、判断下列句子中哪些是命题。
(1) 北京是中国的首都。
(2) 雪是黑色的。
(3) 
。
(4) 请把门关上！
(5) 
是有理数。
(6) 地球外的星球上也有人。
(7) 明天有课吗？
(8) 本语句是假的。
(9) 小明和小林都是三好生。
(10) 小明和小林是好朋友。
解：(1)、(2)、(3)、(6)、(9)、(10)是命题，(4)、(5)、(7)、(8)不是命题。
判断一个语句是否为命题，首先看是否为陈述句，再看其真值是否唯一。
注意：“能判断真假”并不同于“已知真假”。
命题常项，命题变项均用 
表示。
二、逻辑联结词
常用的联结词有 
这五种
1、“非 
”称为
的否定式，记作 
真值表：
|
例如：
：11是素数；
：11不是素数
取值1，
取值0。
2、“
并且 
”称为 
的合取式，记作 
。
真值表：
|
在例1.(9)中，
：小明是三好生，
：小林是三好生
则小明和小林是三好生表示为
。
例2、设
：李平聪明，
：李平用功。
(1) 李平既聪明又用功。…………
(2) 李平虽然聪明，但不用功。………… 
(3) 李平不但聪明，而且用功。…………
(4) 李平不是不聪明，而是不用功。………… 
3、“
或者
”称
的析取式，记作 
。
真值表：
|
例如，
：小明学过英语，
：小明学过日语，
则小明学过英语或日语可表示为
注意：
是相容的或，允许
同真，即小明可能既学过英语又学过日语。(不相容的或，也称排斥或，记作 
，指
中恰有一个成立。如：小明学过英语或日语中的一门，
等值于 
)
4、“如果
那么
”称
的蕴涵式，记作 
其中
为前件，
为后件。
真值表：
|
为了对蕴涵式真值表有所了解，请看下例。
例3、一位父亲对儿子说：“如果我去书店，就一定给你买本《儿童画报》。”问：什么情况下父亲食言？
解：可能情况有四种：
(1) 父亲去了书店，给儿子买了《儿童画报》。
(2) 父亲去了书店，却没给儿子买《儿童画报》。
(3) 父亲没去书店，却给儿子买了《儿童画报》。
(4) 父亲没去书店，也没给儿子买《儿童画报》。
显然，(1)、(4)父亲没有食言，(3)与父亲的许诺没有抵触，当然也没有食言，只有(2)算食言，而这种情况正好对应蕴涵式为假的“前件真后件假”的条件。
例4、
：天下雨，
：我骑车上班。
(1) 如果天不下雨，我就骑车上班。
………… 
(2) 只要天不下雨，我就骑车上班。
…………
(3) 只有天不下雨，我才骑车上班。 ………… 
(或 
)
(4) 除非天下雨，否则我就骑车上班。
…………
(5) 如果天下雨，我就不骑车上班。
…………
5、“
当且仅当
”称
的等价式，记作 
。
是
的充要条件，
也是
的充要条件。
真值表：
|
例5、
： 
，
：3是奇数
(1)
当且仅当3是奇数。…………
(2)
当且仅当3不是奇数。………… 
(3) 
当且仅当3是奇数。………… 
(4)
当且仅当3不是奇数。………… 
再考虑其真值表，因为
真，
真，所以
，
取值1， 
取值0。
6、运算顺序
逻辑联结词也称逻辑运算符，规定优先级的顺序为
，若有括号时，先进行括号内运算。
例如： 
先运算 
，接着是 
和 
，然后是 
，接着是“ 
”的运算，最后是“ 
”的运算。
三、命题符号化
步骤：(1) 找出各简单命题，分别符号化。
(2) 找出各联结词，把简单命题逐个联结起来。
例6、将下列命题符号化。
(1) 小王是游泳冠军或百米赛跑冠军。
设
：小王是游泳冠军，
：小王是百米赛跑冠军。
原语句化为
。
(2) 小王现在在宿舍或在图书馆。
设
：小王在宿舍，
：小王在图书馆。
原语句化为
。
(3) 选小王或小李中的一人当班长。
设
：选小王当班长，
：选小李当班长。
原语句化为
。
(4) 如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。
设
：我上街，
：我去书店看看， 
：我很累。
原语句化为 
(或 
)。
(5) 小丽是计算机系的学生，她生于1982或1983年，她是三好生。
设
：小丽是计算机系的学生，
：小丽生于1982年，
：小丽生于1983年， 
：小丽是三好生
原语句化为 
。