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【转帖】什么是矩阵条件数
矩阵A条件数定义为
k(A) = ||A^(-1)||.||A||, 在任何自洽的矩阵范数中。这个定义依赖于范数的选取。 若||.|| 是 l_2 矩阵范数则 k(A) = σmax(A)/σmin(A) 其中σmax(A)和σmin(A)分别是A的极大和极小奇异值。因此 若A是矩阵范数则 k(A) = lamda_max/lamda_min lamda_max, lamda_min 分别是A的极大和极小（根据模数）特征值. |
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定义:若
 非奇异称 为 的条件数。其中 表示矩阵的某种范数。 用矩阵及其逆矩阵的范数的乘积表示矩阵的条件数，由于矩阵范数的定义不同，因而其条件数也不同，但是由于矩阵范数的等价性，故在不同范数下的条件数也是等价的。矩阵条件数的大小是衡量矩阵“坏”或“好”的标志。 |
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对于线性方程组
 ,若系数矩阵有小扰动 这时方程组的解也有扰动，于是 。 对 的影响可表示为： |
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 (1) |
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若常数
 有小扰动 ,其对 的影响表示为： （2） |
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因此，
 大的矩阵称为“坏矩阵”或“病态矩阵”。对于 大的矩阵，小的误差可能会引起解的失真。一般说来，若 的按模最大特征值与按模最小特征值之比值较大时，矩阵就会呈病态。特别地，当 很小时， 总是病态的。 |
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我想问矩阵特征值之间的差异表示什么性质？
在空间上表现为特征向量伸长的倍数 |
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