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从欧几里得 到 微分几何
?臍W幾里得到微分幾何
什麼是幾何學 �?省身 整理：林�?明
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幾何原本
在差不多一百年前，幾何就是歐幾里得。他在公元前三百年左右寫了一部大書，中文叫做《幾何原本》。?倪@本書我們可以看出：在當時的社會，幾何?K不被大家所注意，所以像歐幾里得這樣偉大的人，我們也不大知道他的生平。大致說起?恚菍凫段髟�365～275年間的人物，這是大致算的時間，?K不表示他活了90歲。 這本書是人�?文化史上一部非常偉大、有意義的著作，它的主要結論有兩個： 一.畢氏定理：有一直角三角形 ABC，則長邊的平方會等於其他兩邊的平方和。由幾何方面?碚f，如果我們在三邊上各作一個正方形，那麼兩個小正方形的面積和就會等於大正方形的面積（見圖一）。  圖一 c2=a2+b2 二.三角形三內角之和等於 180°，如果以?� (radian) 為單位，也可以說三角形三內角之和等於 π 這本書在當時受到重視，不單只是為了學幾何，主要還要學一種邏輯推理的方法。歐幾里得用幾個很明顯的事�?──公理，把幾何的結論?墓碛眠壿嫷姆椒ㄍ瞥觥６谒谐龅墓懋斨校^受爭議的是平行公理。平行公理原?硎钦f：有兩條直線被一直線所截，如果截角的和小於 180°，那麼這兩條直線在充分延長後，必相交於一點。（見圖二）  圖二  另一個簡單的說法是：假使有一直線和線外一點，那麼通過那個點就剛剛好只有一條直線和原?淼闹本�平行。平行者，就是這兩條直線不相交（見圖三）。  圖三 這個平行公理在所有公理之中是最不明顯的，所以數學家或是對數學有興趣的人便想?钠渌墓砣ネ频闷叫泄怼６@努力延持了兩千年，後?碜C明這是不可能的，於是有了非歐幾何學的發現，這在人�?思想史上是非常特別、有意思的事�?。因此我感覺到這是西洋數學和中國數學不同的地方。 《九章算經》是中國古代最有名的數學書，一共九章，第九章談的是所謂勾股，勾、股就是直角三角形中較短約兩個邊，一個叫做勾，另一個就叫做股，而最長的那個邊便稱為弦。勾股定理也就是剛才所謂的畢氏定理，所以它的發現，中國人也應該有份。但是在中國的幾何中，我無法找到�?似三角形三內角和等於 180° 推論，這是中國數學中沒有的結果。 因此，得之於國外數學的經驗和有機會看中國數學的書，我覺得中國數學都偏應用；講得過分一點，甚至可以說中國數學沒有純粹數學，都是應用數學。這是中國科學的一個缺點，這個缺點到現在還存在，大家都講應用，不注意基礎科學。當然應用很要緊，但是許多科學領域基本的發現都是在基礎科學。 |
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球面幾何與非歐幾何
因為有三角形三內角之和等於 180° 這個結論，而有接下?淼闹匾l展： 一、球面幾何球面幾何所討論的三角形，不一定是要在平面上，也可以是一個球面三角形，在這個情形下，三角形三內角之和會大於 180°，?K且有一個非常重要的公式：  R 是球的半?剑�R2 則是度量球面的曲率，因此有曲率的觀念跑到這樣一個簡單的公式裡。這在數學或物理上是一個重要發展，因為?垡蛩固沟南鄬φ撝校剩� 1/R2 代表一個場的力，所以幾何度量和物理度量便完全一樣。 二、非歐幾何在這個情形下，三角形三內角之和是小於 180°的，即有如下的重要公式： 此時 R2 代表非歐幾何的一個絕度的度量，換句話說在非歐幾何的平面上，它的曲率是負的，即 曲率＝  。因此，在空間或者平面的曲率，可以是正的，像球面幾何；也可以是負的，像非歐幾何。而其相對應的三角形三內角和，也分別有大於或小於 180°之情形，不再?M足歐幾里得的平行公理。 |
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坐標幾何
歐幾里得幾何之後，第二個重要的發展是坐標幾何。這是法國哲學家、數學家笛卡兒（1596～1650年），對於研究幾何，引進了坐標的概念，因此可用解析的方法?硖幚韼缀蔚膯栴}。坐標就是說：假使在 X-Y 平面上，有兩個軸：X 軸和 Y 軸，那麼一個點的兩個 X、Y 坐標，就分別以如圖四中的兩個相對應的度量?肀硎尽�  圖四 因此幾何的討論可用解析方法，即：  於是幾何的問題便成為代數的問題。 這樣的發展不但使幾何問題的處理容易些，更有其重大的意義： 一、解析之後，使可研究的圖形的範圍擴大，除了直線的一次方程式，或者圓周的二次方程式，我們還可以取任意的方程式 f(x,y)=0，討論所有點它的坐標 (x,y) 適合這樣方程式的軌跡。因此許多用幾何的方法很難處理的曲線，在解析化之後，都可?谋硎舅姆匠淌街械玫接嘘P的幾何性質。 二、研究的圖形不再局限在二維的平面上，可推?V至高維的空間。世界上的事情，如果只用二維的平面，往往不足以表示，需要取更多的坐標。例如我們所在的空間是三維，有 x、y、z 三個度量。假使要用幾何?肀硎疚锢淼膯栴}，那麼三個度量之外，尚須加一個時間 t，所以物理的空間就變成了四維的空間；不但如此，假使有一點在三維空間運動，那麼除了需要 (x,y,z) ?肀硎军c的位置，還需要這三坐標對時間的微分?肀硎舅乃俾剩� (  )，這就成了六維空間。所以種種的情形都指示我們有必要考慮更高維的空間，?肀硎咀匀坏默F象。 解析幾何把幾何研究的範圍大大地擴大了，而科學發展的基本現象，就是要擴大研究的範圍，了解更多的情形。笛卡兒的解析幾何，便達到了這個目的，使幾何學邁入一個新的階段。 |
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群的觀念
第三個發展是群的觀念，這是數學上一個基本的結構。數學上總是要運算，加、減、乘、除；研究幾何的話，把這個東西?倪@個位置移動到其他的位置，也是個運算。而這樣的運算（也稱為運動）有一個特別的性質，也就是說：把一個物體?募椎匾频揭业兀僖频奖兀芍苯影盐矬w?募椎匾频奖兀磧蓚�運動的結果，可經由一次運動?磉_成，具有這個特殊性質的，便稱其成一群。研究幾何的對象，應是研究經運動群後是不變的幾何的性質。這個觀念立刻便有了重要的發展。 既然討論運動群，有時我們還想討論更大的群，看是不是有些性質不但在運動群下不變，在更大的群之下也是不變。歷史上最主要的例子是投影。假使兩條直線在空間中相交，?囊稽c投影，被一新平面所截，則所得之二直線仍舊是相交。這種「直線相交」的幾何性質，是經過一種比運動還?V的投影之後，仍然不變的。這也有許多應用，如藝術家畫畫，講求透視，遠近合乎幾何的條件。 研究幾何性質在投影群之下不變的是所謂投影幾何。投影幾何的發展，把幾何的觀念推?V了，不只是有普通的歐幾里得幾何（討論幾何性質經運動群後不變的），也可以討論投影幾何中，投影後仍是不變的性質。有許多經運動群後不變的性質，在投影變換後是變了的，像距離、角度，但是還有些更重要的性質在投影下是不變的，而且這些性質能經過（大一點的）投影群不變，在幾何上自有其重要的意義。 法國數學家 Poncelet（1788～1867年），在投影幾何發展史上是一個主要的人物。他曾追隨拿破?懝ゴ蚨韲欢矸龘铮艚诙韲O獄中，而他的主要著作，也就是在此時完成的。因此，大家常常抱怨科學研究的設備不好，相形之下，這個例子可以證明這不是科學研究最主要的問題──當然這情形非常例外。 |
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黎曼及克萊恩的幾何學
在幾何學的發展之中，有許許多多幾何學，像歐幾里得幾何學、投影幾何學……及其他種種幾何學，自然就要有一個人把它綜合集結起?恚蔷褪堑聡臄祵W家克萊恩（F. Klein, 1849～1925年）。他在二十二歲的時候，前往德國小城 Erlangen 的一所大學任教。依據德國的習慣，新教授上任必須做一次公開演講，而他講演的結果──Erlangen program，就是這個新幾何學，他把幾何學建立在群的觀念上：一個空間有一個變換群，允許把空間的圖形?倪@個位置移到另一個位置。因此有了一個群之後，便有一種幾何，它研究所有經過這個變換群不變的幾何性質。這個群可以是歐幾里得運動群，也可以是投影變換群，或者其他種種的群。因為群的選擇不同，也就得到許多不同的幾何學；其中包括非歐幾何學。 仿克萊恩的觀點，只要在空間中有一個所謂二次的超曲面，就有一個非歐幾何，它討論使這個二次超曲面不變的投影變換子群所相應的幾何性質。如：在平面上有一個圓周，非歐幾何就變成研究圓內點所構成的空間的性質，也就是在雙曲平面 (hyperbolic plane) 上討論。因此由克萊恩的觀點，非歐幾何學就變得極易處理。 在這階段前，還有黎曼 (Riemann) 幾何的發展，這是笛卡兒坐標幾何的自然推?V。在笛卡兒坐標系中如果我們取 m 維的空間，一個點就可以用 m 個坐標  ?肀硎荆它c到原點的距離如果是 d，那麼就有  （見圖五）。即這個點到原點距離的平方，是坐標的一個二次式。而黎曼不但用坐標，他還用坐標的微分，於是硬把笛卡兒幾何局部化。因此黎曼幾何可說是一個局部化的幾何。黎曼幾何主要建構在弧長 s 上，弧長微分的平方會等於坐標的一個二次微分式，即  ；用弧長即可建立一個幾何，因為既然有了 ds，便可計算兩點所連接的曲線的長度，也就是弧長。「測地線」(geodesic) 是指在兩點間使弧長最短的那條曲線，它是平面上直線的推?V。有了測地線，便可以有面積及其他種種觀念。  圖五 黎曼幾何最初在二維的情形是高斯（Gauss, 1777～1854年）發展的，他在1827年寫了一本差不多五十頁的小冊子，研究在二維（即曲面）的情形及這樣的 ds2 之下，所能夠發展的幾何性質。他的目的是為了應用，因為當時的德國 Hannover 政府要他主持一個測量工作，為了給這個測量工作一個理論甚礎，於是高斯寫下了這篇在微分幾何上最要緊的論文，微分幾何自此誕生。以前關於把微積分用在幾何上的問題，只能說是微積分在幾何學上的應用，在高斯這篇文章之後，微分幾何便成了一門獨立的學問，就是?� ds2 得到一切的幾何性質。 1854年，黎曼（1826～1866年）在為取得大學教書資格的公開演講上，發表了黎曼幾何的第一篇論文。黎曼幾何?K不像其他我們所談的歐幾里得幾何，或者克萊恩的 Erlangen program 幾何，或者是投影幾何，需要整個的空間。在黎曼幾何的情形之下，我們只需要空間的一部分，因為 ds2 有意義，我們便可量弧長、面積、角度等幾何性質，不需要知道全部的空間。也就是說，在這樣的一個小塊裡，便可發展全部的幾何性質，這是黎曼幾何革命性的觀念，使幾何局部化，這個和物理上的場論是完全符合的。 真正使黎曼幾何受到重視的是?垡蛩固沟�?V義相對論。大致說起?恚�?垡蛩固沟�?V義相對論是要把物理幾何化，也就是說把物理的性質變為幾何的性質，因此黎曼幾何就成為物理學家一定要念的一門數學。到了黎曼空間一樣有曲率的概念，只是因為黎曼空間是高維的，所以它的曲率概念就變得相當複雜。在?垡蛩固沟�?V義相對論中的基本公式裡，大致說起?恚锢淼牧κ且粋�曲率；數學家講曲率和物理學家講力、位 (potential)、速度，是完全可以把它們連在一起的。 |
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聯絡、矢量叢、規範場論
在黎曼幾何中，Levi-Civita 平行性是一個重要的觀念。Levi-Civita 以為在黎曼幾何（?V義相對論裡的其中一種，稱為勞�?�?幾何）都有一個很基本的性質，那就是平行性；在這個時候，空間不再是只用一個坐標系表示的空間，而是需要很多不同的坐標系才能表現的「流形」(manifold)，這樣又把幾何研究的空間推?V了。所以我常有個比喻，如果我們把幾何空間的推?V和人�?穿衣服的過程相對照，那麼一開始的歐幾里得幾何，便好比人在原始社會中沒有穿衣服，是裸體的；然後笛卡兒把坐標的概念加入了「赤裸」的空間，就好比人�?開始穿衣服；而到了流形的階段，就好比現代人，不只穿一件衣服，還要常常換。也許有些人不太能接受這樣「奇裝�?服」式的換坐標，但是沒有關係，?垡蛩固够似吣甑臅r間，才終於接受坐標可以轉換的概念，而能?莫M義相對論進展到?V義相對論。空間中有不同的坐標系，那麼麻煩就?砹耍驗閹缀蔚男再|是和坐標系的選取有關，不過不要緊，只要我們能控制坐標變換的性質，使在變換前即有的性質，經過變換之後仍為我們所控制，那麼換坐標就沒關係了，這是近代幾何學比較困難的地方。 用以表示流形的坐標系是任意的，因此可能是非線性的坐標，這在處理上就變得比較困難;但是我們可以取線性的空間去逼近流形。換句話說，雖然流形本身是非線性的，但在流形上的一點，都有一個和普通空間一樣的線性空間，即切空間。這些切空間之間原本是沒有關係的，而 Levi-Civita 平行性就是要建立二點之間的切空間的關係；之後，微分幾何學家發現，這個平行性是非常基本的性質。又因為拓樸學 (topology) 的發展，我們把這個觀念推?V了，不一定要談切空間，任意一個空間都可以，於是就有矢量叢 (vector bundles) 和聯絡 (connections) 的觀念。也就是說流形的切空間差不多是平的，但是矢量叢卻可以是一個豎起?淼目臻g，任何的矢量空間都可以，這是今天在幾何上大家所公認的一個基本結構。?睦杪鼛缀瓮�?V到有聯絡的矢量叢，這也就是物理上規範場論 (gauge field) 的數學基礎。 |
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�?格、結、圓周叢
黎曼幾何把幾何局部化，但我們不能永遠只在一個小區域裡頭，所以局部化之後又要整體化，又要把它擴充到全空間。而在這個整體化的擴充當中，最要緊的就是拓樸學。只要我們不把一個圖形扯破，那麼就有些幾何性質雖經過放大、縮小等很大的變換，也不會改變，例如�?格 (genus) 的性質。比方說我們在一個二次的曲面上挖兩個洞（見圖六），那麼它的�?格就等於 2。�?格也可以等於 3、4……，或者像美國的甜甜圈只有一個洞，�?格就是 1。即�?格等於洞的個數，這個數目是把曲面放大縮小之後仍舊不變的，這是拓樸不變式的一個例子。  圖六  圖七 另外一個例子是有關於結 (knot)。如圖七，這是一個三維空間中封閉的曲線，沒有辦法把它解開成一圓周，這就是所謂的結。不要把這想成幾何學家沒有事在玩的東西，在應用上，這有非常重要的意義。剛才說過，物理上的空間是四維的，如果再加上電磁場，就成了五維的空間。馬克士威方程式中，底空間是一個四維的流形，在那上頭的每一點都突出去一條一維的空間（矢量叢）。這一維的空間，在物理上必須是封閉的，所以是一個圓周，數學家稱此為圓周叢 (circle bundles) 也就是說，底空間是四維，每一點又有一個圓周，所以整個空間就是五維的。但是這?K不是一個任意的五維空間，它必須?M足這樣特別的一個幾何結構。利用這個觀念，馬克士威方程就可寫成下面這樣簡單的形式：  其中 F 是這個圓周叢的一個聯絡的曲率，這曲率是一個二次微分式，d 是代表此微分式的外微分，dF=0 就是說這個二次微分式是封閉的。 另外一個方程式是 δ，  ，即所謂餘微分(codifferential)。在一般的電磁學書上，是用一組方程?肀憩F馬克士威方程。現在由於數學或幾何的發展，不但把一組方程式簡化，而且可由這化簡的方程式去推得數學、幾何、物理上的結論，?K不一定要回?戆逊匠淌饺归_才可獲得相同的結論。所以這觀念上的發展，的確使得科學進步。如果大家有興趣，可試著去證明這組方程和平常我們所見的馬克士威方程是一樣的。  圖八 |
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規範場論的基本方程式
在物理上有一個 Bohn-Aharonov �?驗，就是說：普通把馬克士威方程寫成那樣的形式是不對的。因為它沒有把所有的電磁現象都表示出?恚瑧摾脠A周叢聯絡 A，dA=F 才是描寫所有電磁現象的方程式，dF=0 只是 dA=F 的一種結果。Bohn-Aharonov �?驗的裝置（見圖八），有一個內有磁場的圓筒，外面沒有磁場，而在圓筒的外圍接有線圈，那麼圓筒內的磁場，便和通電之路?接嘘P。楊振寧先生有一篇文章把這情形說得很清楚。 總之，就是應該把馬克士威方程寫成：  的形式（也就是楊-Mills 方程式），用以處理更複雜的�?驗，也才能真正代表所有電磁現象。除此之外，楊-Mills 方程式是一切場論的基礎，是規範場論的基本方程式，它的重要性就如同馬克士威方程在電磁場或?垡蛩固狗匠淘谝龅闹匾浴２贿^在這個情形下，矢量叢就變成二維而不是一維了，那麼作用在這個二維矢量叢上的群就不再是可交換，因此數學上的處理就變得很複雜了。 |
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DNA 的基本公式
最後談談 James White 的公式，這在分子生物學，DNA 方面是一個基本公式。DNA 在幾何上的結構是雙螺線，是兩條封閉的曲線互相繞著，所以很自然的，研究 DNA 幾何結構的基礎是很簡單的微分幾何的曲線理論，和剛剛談的結有關，即打了一個結，結的數學性質就對應到 DNA 的生物反應。目前王倬教授正在南港?氖逻@方面的�?驗。 DNA 分子雖是一個螺線，卻不像我們所想像的，它的螺線是以最經?姆绞交ハ嗬p繞，而產生了許多複雜而有意思的幾何問題。之中有一個就是 White 的公式：Lk=Tk+W。兩個封閉曲線套起?淼脑捰幸粋�套數 Lk，它會等於 twist 和 writhing-number 之和。套的數目可以很大很大，分子生物的現象，不僅是可以使它套起?恚部梢允顾忾_，恢?驮�?淼男螤睢？偠灾也欢@些生物學，只是道聽塗說。 大家覺得微分幾何應該是很有用的，因為在物理學發展之中，電磁學對人�?日常生活是最有影響的；而在遺傳工程及其他方面，DNA 的結構也是生物科學對人�?生活最有影響的一門學問。很巧，我剛好就是研究這兩門學問的數學基礎：微分幾何。這讓我聯想到一個有名的理論物理學家，E. Wigner 所寫的一篇文章：〈The unreasonable effectiveness of mathematics in science〉。為什麼數學會有用？光玩玩�?格、結，竟也能找到有用的數學性質，提供了很好的應用，他覺得很不可思議。在這篇文章的開頭，他舉了一個更簡單的例子：有兩個中學同學，畢業後各奔前程，若干年後，兩個人再度碰面，甲便問乙近幾年在研究什麼？乙說他在研究人口問題，甲便欣賞了一下乙的論文，發現論文裏頭總有個 π。我們都知道 π 是圓周率，怎麼可以和人口問題發生關係？這也是一個最粗淺的例子，告訴我們：基本的發現，有時候也不一定要求立刻的應用，可能結果有更大的應用。 |
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