黎曼及克萊恩的幾何學
在幾何學的發展之中，有許許多多幾何學，像歐幾里得幾何學、投影幾何學……及其他種種幾何學，自然就要有一個人把它綜合集結起?恚蔷褪堑聡臄祵W家克萊恩（F. Klein, 1849～1925年）。他在二十二歲的時候，前往德國小城 Erlangen 的一所大學任教。依據德國的習慣，新教授上任必須做一次公開演講，而他講演的結果──Erlangen program，就是這個新幾何學，他把幾何學建立在群的觀念上：一個空間有一個變換群，允許把空間的圖形?倪@個位置移到另一個位置。因此有了一個群之後，便有一種幾何，它研究所有經過這個變換群不變的幾何性質。這個群可以是歐幾里得運動群，也可以是投影變換群，或者其他種種的群。因為群的選擇不同，也就得到許多不同的幾何學；其中包括非歐幾何學。
仿克萊恩的觀點，只要在空間中有一個所謂二次的超曲面，就有一個非歐幾何，它討論使這個二次超曲面不變的投影變換子群所相應的幾何性質。如：在平面上有一個圓周，非歐幾何就變成研究圓內點所構成的空間的性質，也就是在雙曲平面 (hyperbolic plane) 上討論。因此由克萊恩的觀點，非歐幾何學就變得極易處理。
在這階段前，還有黎曼 (Riemann) 幾何的發展，這是笛卡兒坐標幾何的自然推?V。在笛卡兒坐標系中如果我們取
m 維的空間，一個點就可以用
m 個坐標
?肀硎荆它c到原點的距離如果是
d，那麼就有
（見圖五）。即這個點到原點距離的平方，是坐標的一個二次式。而黎曼不但用坐標，他還用坐標的微分，於是硬把笛卡兒幾何局部化。因此黎曼幾何可說是一個局部化的幾何。黎曼幾何主要建構在弧長
s 上，弧長微分的平方會等於坐標的一個二次微分式，即
；用弧長即可建立一個幾何，因為既然有了
ds，便可計算兩點所連接的曲線的長度，也就是弧長。「測地線」(geodesic) 是指在兩點間使弧長最短的那條曲線，它是平面上直線的推?V。有了測地線，便可以有面積及其他種種觀念。
圖五
黎曼幾何最初在二維的情形是高斯（Gauss, 1777～1854年）發展的，他在1827年寫了一本差不多五十頁的小冊子，研究在二維（即曲面）的情形及這樣的
ds2 之下，所能夠發展的幾何性質。他的目的是為了應用，因為當時的德國 Hannover 政府要他主持一個測量工作，為了給這個測量工作一個理論甚礎，於是高斯寫下了這篇在微分幾何上最要緊的論文，微分幾何自此誕生。以前關於把微積分用在幾何上的問題，只能說是微積分在幾何學上的應用，在高斯這篇文章之後，微分幾何便成了一門獨立的學問，就是?�
ds2 得到一切的幾何性質。
1854年，黎曼（1826～1866年）在為取得大學教書資格的公開演講上，發表了黎曼幾何的第一篇論文。黎曼幾何?K不像其他我們所談的歐幾里得幾何，或者克萊恩的 Erlangen program 幾何，或者是投影幾何，需要整個的空間。在黎曼幾何的情形之下，我們只需要空間的一部分，因為
ds2 有意義，我們便可量弧長、面積、角度等幾何性質，不需要知道全部的空間。也就是說，在這樣的一個小塊裡，便可發展全部的幾何性質，這是黎曼幾何革命性的觀念，使幾何局部化，這個和物理上的場論是完全符合的。 真正使黎曼幾何受到重視的是?垡蛩固沟�?V義相對論。大致說起?恚�?垡蛩固沟�?V義相對論是要把物理幾何化，也就是說把物理的性質變為幾何的性質，因此黎曼幾何就成為物理學家一定要念的一門數學。到了黎曼空間一樣有曲率的概念，只是因為黎曼空間是高維的，所以它的曲率概念就變得相當複雜。在?垡蛩固沟�?V義相對論中的基本公式裡，大致說起?恚锢淼牧κ且粋�曲率；數學家講曲率和物理學家講力、位 (potential)、速度，是完全可以把它們連在一起的。