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【讨论】什么是数学

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2006-10-25, 03:39 PM	#1
huangyhg 超级版主注册日期: 04-03 帖子: 18592 精华: 36 现金: 249466 标准币资产: 1080358888 标准币	【读书日志之一】什么是数学 <<什么是数学>> [美]r.柯朗 H.罗宾著 1．数是近代数学的基础上帝创造了自然数,其余的是人的工作.p6 位置记法是在中世纪由意大利商人从穆斯林那里学会，并引进欧洲的。从此，数表示为一系列带权值（基）的数码符号。在日常生活中，常用的权值是十，即十进制；在计算机虚拟世界中，常用的权值是二。拉普拉斯（Laplace）说：“莱布尼兹（W.Leibniz）在他的二进制算术中看到了宇宙创始的原象。他用1表示上帝，而用0表示虚无，上帝从虚无中创造出所有事物，恰如在他的数论中用1和0表示了所有的数。” 2．数学是科学的皇后，而数论是数学的皇后 2．1 素数从可除性建立的一个重要概念是素数. 素数是大于1且只能被1和自身整除的整数. 2．1．1 哥德巴赫（Goldbach）猜想任何一个偶数（除了2，2本身是个素数）都能表示为两个素数之和。 2．1．2 存在无穷个以P和P＋2的形式出现的素数对素数经常以P和P＋2的形式成对出现，例如3和5，11和13，29和31等。素数(质数)分布的平均状态能用对数函数来描述.p39 2．2 有理数有理数由整数和分数构成。 2．2．1 有理数的由来在日常生活中，我们不仅要数单个的对象，而且也需要度量长度、面积、重量和时间等。为了能自如地度量这种能任意细分的量，就必须把算术的范围扩展到自然数的范围之外。若要把度量的问题转变为分段计数的问题（P64），首先，要引进一类(不同细分的)度量单位；其次，在同类度量单位进行换算的过程中，引入了符号m/n，使度量脱离了测量过程以及被测量的具体关系，而被看作是一种纯粹的数。由于这种数本身可作为一个与自然数有同样的地位的实体，被称之为有理数。 2．2．2 有理数的定义当m和n是自然数时，符号m/n称为有理数。 2．2．3 负数和分数对自然数而言，为了突破减法的运算限制（如：b－a，当b小于或等于a时，才有解），引进了“负整数”和“0”；为了消除除法的运算限制，引进了“分数”。 2．2．4 有理数的几何解释有理数可用一条有向直线（数轴）来表示，有理点在直线上是稠密的。 2．3 无理数 2．3．1 无理数的由来早期毕达哥拉斯学派（希腊）发现，存在着不可公度的线段（P71）。例如：正方形的对角线是不可度量的。于是，将这种非循环小数称为无理数。 2．3．2无理数的定义若要摆脱对基10的特殊依赖关系，可使用“区间”来定义无理数。而戴特金则采用“集合”来定义无理数。 2．4 实数任何一个有理数序列，如果“收敛”，则定义为“实数”。康托的定义源自于： 1）实数可以看成一个无限十进制小数 2）无限十进制小数可看成有限十进制小数的极限。（疑惑：极限的定义是？） 2．5 解析几何（P87） 2．5．1 基本原理解析几何的基本思想是引进“坐标”，比如，对一条几何线段标上其特征值（起点坐标和终点坐标），从而从某种角度上完全量化了这条几何线段。解析几何的原理就是在引进实数连续的基础上，用实数来度量几何对象的特征量。 2．5．2 扩充的数域（P103）直到中世纪中叶，数学家才完全意识到，在一个扩充的数域中运算，其逻辑和哲学基础本质上是形式主义的，这扩充的数域必须通过定义来创造，这些定义可以是随意的。但是，从长远来看，如果不能在更大的范围内保持在原来范围内通行的规则和性质，它是毫无用处的。这些扩充可以与“实际”对象相联系，并且可为新的应用作为工具使用。 2．6 复数 2．6．1 复数的由来为了保证每个二次方程都有解，引进了“复数”。比如：方程x^2 ＝－1的解为x＝i（符号）；即引进“虚数”，构造一“复数域”。 2．6．2 复数的几何解释复数和二维空间中的点一一对应。比如： Z＝X＋Yi，式中， X坐标表示实部，Y坐标表示虚部。 2．7 代数数 2．7．1 代数数的由来代数数的概念是有理数的自然推广，有理数就是n＝1时的特殊情况。全体代数数是可数的，而实数是不可数的，因此必定存在不是代数数的实数。 2．7．2 代数数的定义任何一个数x，不论是实数还是复数，如果满足某个形如an·x^n + an-1·x^n-1 +…+ a1·x + a0 = 0（n大于等于1，且an不等于0）的代数方程，其中ak是整数，那么这个数就是代数数。 2．8 超越数不是代数数的实数称为超越数。比如，e和∏。 __________________ 借用达朗贝尔的名言：前进吧，你会得到信心! [url="http://www.dimcax.com"]几何尺寸与公差标准[/url] 此帖于 2008-03-16 09:17 PM 被 huangyhg 编辑.

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2006-10-25, 03:50 PM	#2
huangyhg 超级版主注册日期: 04-03 帖子: 18592 精华: 36 现金: 249466 标准币资产: 1080358888 标准币	回复: 【读书日志之一】什么是数学黄毛丫丫的读书日志之一。此帖于 2006-11-28 08:22 PM 被 huangyhg 编辑.

2007-02-04, 08:12 PM	#3
huangyhg 超级版主注册日期: 04-03 帖子: 18592 精华: 36 现金: 249466 标准币资产: 1080358888 标准币	回复: 【讨论】什么是数学对数的出现是为了简化航海中的计算。离散模型的“极限”就是连续模型？

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