一、关系的五种性质(自反,反自反,对称,反对称,传递)。
二、五种性质的其它判断方法
三、关系在各种运算下保持原有特性问题
关系的性质
重点:(1) 掌握自反性,反自反性,对称性,反对称性,传递性的定义及关系矩阵和关系图的特征,
(2) 掌握关系五种性质的判断和验证。
定义及关系矩阵,关系图特征由下表给出( 为
上关系)
|
例1、 ,
上关系:
判断以上关系各有哪些性质。
解:(1) 既不是自反又不是反自反,是对称的,不是传递的。
(2)
是反自反的,反对称的,传递的。
(3)
既不是自反又不是反自反的,既是对称又是反对称的,传递的。
(4)
是自反的,既不是对称又不是反对称的,不是传递的。
例2、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解:(1) 是反自反,反对称,不是传递的。
(2)
是空关系,是反自反,既是对称又是反对称的,传递的。
(3)
是恒等关系,是自反的,既是对称又是反对称的,传递的。
(4)
是全域关系,是自反的,对称的,传递的。
(5)
既不是自反也不是反自反的,反对称的,传递的。
(6)
是反自反的,既不是对称又不是反对称,不是传递的。
自反与反自反不交,存在既不是自反又不是反自反的关系。
对称与反对称相交,存在既是对称又是反对称的关系,也存在既不是对称也不是反对称的关系。
设
是
上关系,
为
上恒等关系,则
1、
是自反的当且仅当
,
2、
是反自反的当且仅当
,
3、
是对称的当且仅当
,
4、
是反对称的当且仅当
,
5、
是传递的当且仅当
。
要判断一个关系 是否具有某些性质,除了可用定义判断外,以上五条也可用于判断。一般,五种性质中,传递性较难判断,注意到
与传递性的定义,“若
且
,则
”的共同点及不同点,有助于理解以上第五条的含义。
例3、设
,
上关系
,
,判断
是否传递的。
解:因
,所以
是传递的。
因 ,所以
不是传递的。
设
为
上关系,它们具有某些性质,在经过并,交,相对差,求逆,合成等运算后,能否保持原有的特性,结论在下表中给出,“√”表示肯定,“×”表示否定。
|
以上表格中,肯定的可以证明,否定的可以举出反例。
例如:设
为
上的对称关系,证明
也是
上的对称关系。
证明:对任意
所以
在
上是对称的。
又如:设
为
上反对称关系,证明
不一定是
上的反对称关系。
反例: 都是
上的反对称关系,但
不是
上的反对称关系。