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第七章思维的规律

在知识领域出现了一个新的、更为抽象的数学概念，称为逻辑学。它起源于古希腊哲学家亚里士多德(Aristotle, 384BC~322BC)。亚里士多德对逻辑学的贡献是对“三段论”的研究。亚里士多德的思想一直是西方思想的核心所在。



莱布尼茨曾颇具雄心，他试图将亚里士多德的古典思想同当时的新科学统一并协调起来，将基督教的各个分支重新结合起来，也希望统一科学。莱布尼茨提出要建立一套专门的科学语言――通用的符号体系和处理符号的法则。他认为再高深的知识也是建立在相对少数的基本概念之上。莱布尼茨是发展思维的规律方面做出贡献的第一人。



布尔(George Boole, 1815~1864)，英国数学家，他坚持认为“数学无非是符号之间的关系”。布尔对思维规律的考察，是对形式逻辑（数理逻辑）的一种数学或者哲学上的分析。布尔对数学最大的贡献就是其符号逻辑学，他找到了一种用代数学来表达并极大地推广古典逻辑学的方法，他使用三种逻辑运算：AND，OR和NOT。




第八章矩阵与行列式论

在新的数学结构中，第一个、也是最重要的一个就是矩阵代数。矩阵和行列式在科学与工程学的发展中，是最为有用的数学分支之一，原因是它们是解线性方程组的基础。



早期的思想
日本数学家关孝和(1642~1708)，是发现行列式思想的第一人。十年之后的莱布尼茨也独立发现了关于行列式的简单形式。莱布尼茨的发现成果是：他找到了用以确定方程组是否为超定方程组的判别法则。1750年，瑞士数学家克莱姆发现了克莱姆法则，他用行列式求解由n个变量n个线性方程构成的方程组。



谱论
分析学是在发现微积分的过程中出现的一门数学分支。当数学家们试图把它应用到物理领域时，人们对线性方程组有了新的认识。



达朗贝尔(Alembert, 1736~1783)，他发现了特征值问题：



问题的目的是找到所有的特征值以及与特征值有关的x、y和z的解。达朗贝尔发现，只有与负特征值有关的解才是方程组的合理解。按照自然法则，那些与正特征值有关的解是不符合世纪的。



拉格朗日(Lagrange, 1736~1813)和拉普拉斯(Laplace, 1749~1827)发现了特征多项式。特征多项式的发现在两个重要数学分支－行列式论和代数方程论－之间建立了重要的联系。



对方程的系数与特征值之间的关系以及特征值的个数问题的继续探索，便是“谱论”的开端。柯西(Cauchy, 1789~1857)是谱论研究的先驱。



柯西两大重要的发现是：第一，柯西把行列式表示成数字表。他证明，当这个表中所有的数都是实数，且关于主对角线对称时，这个特征方程的特征值就都为实数。该结果首次揭示了方程的特征值与计算行列式的数字表之间的关系。其部分价值在于：不通过计算特征值，便能说明这些特征值的特种性质。柯西也发现了一种“行列式”算术。柯西的第二个重要发现是特征多项式的根保持不变，说明线性方程组的基本的不变的性质。



矩阵论
人们常把矩阵论的创立归于英国数学家凯莱(Cayley, 1821~1895)和他的朋友希尔维斯特(Sylvester, 1841~1887)，事实上埃森斯坦(Eisenstein, 1823~1852)好像是要发展矩阵代数第一人。埃森斯坦考虑能否发展一种具有如下特点的代数：重要的不是数或者是行列式函数，甚至是多项式，而是矩阵。



1858年，凯莱发表了《矩阵代数研究报告》(A memoir on the Theory of Matrices)，首先把矩阵的性质当作数学对象来描述。凯莱定义了矩阵的加法和乘法的法则。凯莱还研究了一种多项式，其中变量表示矩阵，而不再是数。凯莱发现：每个矩阵都满足使它的特征多项式等于0的方程，因此有时也说每个矩阵都是它自身特征多项式的根，即著名的哈密顿－凯莱定理。
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