集合论
集合论是研究集合一般性质的数学分支,它的创始人康托尔( 
, 1845－1918)。在现代数学中，每个对象(如数，函数等)本质上都是集合，都可以用某种集合来定义，数学的各个分支，本质上都是在研究某一种对象集合的性质。集合论的特点是研究对象的广泛性，它也是计算机科学与工程的基础理论和表达工具，而且在程序设计，数据结构，形式语言，关系数据库，操作系统等都有重要应用。
第三章 集合与关系
集合的基本概念
重点：(1) 掌握集合的概念及两种表示法，
(2) 常见的集合 
和特殊集合 
，
(3) 掌握子集及两集合相等的概念，
(4) 掌握幂集的概念及求法。
1、集合——一些确定的对象的整体。
集合用大写的字母标记，如 
等。
其中的对象称元素，用小写字母标记，如 
等。
表示集合 
含有元素 
。
注意：(1)
对元素 
和集合
， 
或 
二者必居且只居其一，
(2) 集合中的元素均不相同(与排列顺序无关)，
例如： 
表示同一个集合。
(3) 集合的元素可以是任何类型的事物，一个集合也可以作为另一个集合的元素。
例如： 
2、集合的表示法。
(1) 列举法(将元素一一列出)
例如： 
(2) 描述法(用谓词概括元素的属性)
例如： 
一般，用描述法表示集合 
是使 
为真的全体的
构成。
3、常见的一些集合。
——包括0的自然数集，
——整数集，
——有理数集，
——实数集，
——复数集。
4、集合间的关系。
(1) 
为
的子集，记 
——
中的每个元素都是
的元素。
为
的真子集，记 
——
为
的子集，但
中至少有一个元素不属于
。
(2)
对任意集合
有 
。
(3)
两集合 
相等，记作 
。
。
5、特殊的集合。
空集
——不含任何元素的集合。
空集是唯一的，它是任何集合的子集(记 
)，
全集
(或 
)——在某一问题中，含有所涉及的全部集合的集合。
( 为任一集合)
例1、选择适当的谓词表示下列集合。
(1) 小于5的非负整数集，
(2) 奇整数集合，
(3) 10的整倍数集合，
(4) 
。
解：(1) 
，
(2) 
，
(3) 
，
(4) 
。
例2、用列举法表示下列集合。
(1) 
，
(2) 
，
(3) 
，
(4) 
。
解：(1) 
，
(2) 
，
(3) 
，
(4) 
。
例3、确定下面命题的真值：
(1) 
真值 
(2) 
真值 
(3) 
真值
(4) 
真值
(5) 
真值
(6) 
真值
(7) 
真值
(8) 
真值
例4、 
为集合，若 
且 
，有可能 
吗，有可能 
吗？
解：两种情形都有可能。
设 
，则 
，有 。
又设 
，则 ，但 。
1、 
元集(
个元素的集合)的 
元 
子集。
例如： 
为3元集。
有0元，1元，2元，3元子集。
0元子集：
(只有一个)，
1元子集：
(共 
个)，
2元子集：
(共 
个)，
3元子集：
(共 
个)。
一般，
元集共有子集 
个。
2、集合
的幂集，记 
——
的全体子集为元素的集合。
例5、 ，求 
。
解：
若
有
个元素，则
有 
个元素。
例6、求以下集合的幂集。
(1) 
，
(2) 
，
(3) 
，
(4) 
，
(5) 
。
解：(1) 
，
(2) 
，
(3) 
,
(4) 
,
(5) 
。