函数的定义和性质
重点：掌握函数的定义，单射、满射、双射的概念及判定。
1、定义： 
为二元关系，若对任意的 
，都存在唯一的 
，使得 
成立，则称
为函数。
例如： 
是函数，
而 
不是函数。
2、记号：一般用大写或小写的英文字母表示函数，如 
，若 ，记 
。
3、因为函数是二元关系，是一个集合，有关集合和关系的运算对函数都适合。
4、函数的定义域，值域。
设 
是集合，若函数 
满足：
(1) 
，(2) 
，
则称
是从 
到 
的函数，记作 
。
符号 
表示从 到 的函数的全体构成的集合。
例如：函数 
， 
，是从实数集 
到
的函数，即 
，
函数 
， 
，是从正实数集 
到
的函数，即 
。
例1、 
， 
，求 
。
解：题目要求从
到
的所有函数，依函数定义，有
故 
一般，若 
， 
( 
不全为 
)，则 
。
1、满射：若 
，则称
是满射的
(或到上的)。
2、单射：若 
， 
，则 
，则称
是单射的
(或一一的)。
3、双射：若
既是满射，又是单射，则称
是双射的
(或一一到上的)。
例2、判断以下的 
是否从
到
的函数，若是函数，再判断是否单射，满射，双射的；若不是，请说明理由。
(1) 
， 
，
解：
是从 到 的函数，但不是单射，因为 
；也不是满射，因为 
，即 
。
不是从
到
的函数，因为 
，但是不存在 
，使 
，即 
。
不是从
到
的函数，因为对于 
，有 
和 
两个值与它对应。
(2) 
(实数集)
解：
是从 到 的函数，但它不是单射，因为 
，也不是满射，因为 
是区间 
，而不是
。
是从
到
的双射函数。
不是从
到
的函数，因为 
区间，而不是 。
(3) 
(正整数集)
解：
是从 到 的函数，且是单射的，但不是满射的，因为 
，
不是从
到
的函数，因 
，不存在 
与之对应，即
(或由 
，即 
)。
是从
到
的函数，且是满射的，但不是单射的，因
。
1、常函数，
， 
都有 
( 
， 
为常数)
2、恒等函数， 
，
，都有 
3、特征函数， 
，
， 
，其中 
。
4、自然映射，设
是
上的一个等价关系，
是从
到商集 
的函数 
， 
， 
。