函数的复合和反函数
1、定义:设函数 , ,则 ,对任意 , ,称为 的复合函数。
例1、设 ,其中
, , ,
求 , , , , , 。
解:因为 均为从 到 的函数,所以所求的复合函数也是从 到 的函数。
2、性质。
函数的单射,满射和双射,经过复合运算后仍然保持。
设 ,
(1) 若 是满射的,则 也是满射的。
(2) 若 是单射的,则 也是单射的。
(3) 若 是双射的,则 也是双射的。
证:(1) ,由于 满射,故 使 ,对这个 ,又由于 满射,故 使 ,因此 ,所以 是满射。
(2) ,若 ,由于 单射,故 ,且 ,又由 的单射,有 ,即 ,所以 是单射的。
(3) 综合(1)、(2),即得 是双射的。
1、定义:设函数 是双射的,则 也是双射的,称 是 的反函数。
由定义知, , ,即 与 交换了定义域和值域。
定义中的条件 是双射的,不可缺,否则反函数不存在。
例2、判断以下函数是否存在反函数,若存在,请写出反函数,否则,请说明理由。
(1) ,
(2) ,
(3) ,
解:(1) 不存在反函数,因为 不是单射, 。
(2) 是双射的,存在反函数 , 。
(3) 是双射的,存在反函数 , 。