函数的复合和反函数
1、定义：设函数 
， 
，则 
，对任意 
， 
，称为 
的复合函数。
例1、设 
，其中
， 
， 
，
求 
， 
， 
， 
， 
， 
。
解：因为 
均为从 
到
的函数，所以所求的复合函数也是从
到 的函数。
2、性质。
函数的单射，满射和双射，经过复合运算后仍然保持。
设
，
(1)
若
是满射的，则
也是满射的。
(2)
若
是单射的，则
也是单射的。
(3)
若
是双射的，则
也是双射的。
证：(1) 
，由于 
满射，故 
使 
，对这个 
，又由于 
满射，故 
使 
，因此 
，所以
是满射。
(2) 
，若 
，由于
单射，故 
，且 
，又由
的单射，有 
，即 
，所以 是单射的。
(3)
综合(1)、(2)，即得
是双射的。
1、定义：设函数 
是双射的，则 
也是双射的，称 
是
的反函数。
由定义知， 
， 
，即 与 交换了定义域和值域。
定义中的条件
是双射的，不可缺，否则反函数不存在。
例2、判断以下函数是否存在反函数，若存在，请写出反函数，否则，请说明理由。
(1) 
， 
(2) 
， 
(3) 
， 
解：(1) 不存在反函数，因为
不是单射， 
。
(2)
是双射的，存在反函数 
， 
。
(3) 
是双射的，存在反函数 
， 
。