代数系统

　　这部分内容属于近世代数的范畴，近世代数是研究具有运算的集合，它第一次揭示了数学系统的多变性与丰富性。代数结构理论可用于计算机算法的复杂性分析，研究抽象数据结构的性质及操作，同时也是程序设计语言的理论基础。我们将介绍代数系统的最基本概念和最基本理论，以及几类常用的代数系统，它们是：半群，幺半群,群,环,域,格和布尔代数。本课程在第五，六章中介绍代数系统的内容。

第五章　代数结构

　二元运算及性质

重点：(1) 一元和二元运算的概念，

　　　(2) 二元运算律 (结合律，交换律，分配律)，

　　　(3) 二元运算的特殊元素 (幺元，零元，逆元)。

一、二元运算

1、定义：设为集合，函数称为上的二元运算 (即，，运算封闭)

　　元运算，，掌握，，即一元，二元运算。

2、记号：用等符号表示二元运算，称为算符。

　　例如：记为 (二元运算)

　　　　　记为 (一元运算)

　　例1、(1) 上的加法，乘法都是二元运算，但减法，除法不是。

　　　　　(2) 上的加法，乘法，减法都是二元运算，但除法不是。上求相反数的运算是一元运算。

　　　　　(3) 非零实数集上的乘法和除法都是二元运算。但加法，减法不是，而求倒数是一元运算。

　　　　　(4) 表示所有阶实矩阵的集合，则矩阵的加法和乘法都是二元运算。

　　　　　(5) 集合的幂集上的都是二元运算，而绝对补集( 为全集)是一元运算。

　　　　　(6) 表示集合上的所有函数的集合，函数的合成运算是上的二元运算。

3、一元，二元运算表。

　　当为有穷集时，上的一元和二元运算都可以用运算表给出。

　　例2、(1) 设，给出上的运算绝对补集和对称差的运算表。

　　解：，“ ”为一元运算，“ ”为二元运算，其运算表如下：

　　(2) 设，定义上的两个二元运算如下：

　　求运算和的运算表。

　　解：，分别是的和与积除以的余数，运算表如下：

二、有关运算律

　　设是上的二元运算，，

　　1、若，则称在上可交换。(或称满足交换律)

　　2、若，则称在上可结合。(或称满足结合律)

　　3、若

　　则称运算对是可分配的。(或称对满足分配律)

　　例3、(1) 普通的加法和乘法在上都是可结合的，且是可交换的，乘法对加法是可分配的。

　　　　(2) 矩阵的加法和乘法在上是可结合的，加法可交换，但乘法不可交换，乘法对加法是可分配的。

　　　　(3) 在幂集上可结合，可交换，但是相对补不可结合，不可交换，和是互相可分配的。

三、一些特殊元素

　　设为上的二元运算，

1、幺元：若，对，，则称为运算的幺元。

注：(1) 若幺元存在必唯一。

　　(2) 若只有或只有，则，称为左幺元或右幺元。

　　例如：在上，加法的幺元是，乘法的幺元是。在上，矩阵加法的幺元是阶矩阵，矩阵乘法的幺元是阶单位矩阵。在幂集上，运算的幺元是，运算的幺元是全集。

　　在上的减法运算没有幺元，只有右幺元。

　　例4、在 (非零实数集)上定义运算如下：

　　则中的任何元素都是右幺元，但没有左幺元，使，从而没有幺元。

2、零元：若，对，

　　，则称为运算的零元。

注：(1) 若零元存在必唯一。

　　(2) 若只有，或只有，则称为左零元或右零元。

　　如例4中的任何元素都是左零元，但没有右零元，从而也没有零元。

　　例如：在上加法没有零元，乘法的零元是。在上矩阵加法没有零元，矩阵乘法的零元是阶矩阵。在幂集上，运算的零元是，运算的零元是。

3、逆元：设为上的二元运算，为运算的幺元，若对，存在，使，则称为的逆元。

注：(1) 逆元是针对某个元素而言的 (可能有些元素有逆元，有些没有)

　　(2) 若二元运算满足结合律且的逆元存在则必唯一。

　　(3) 若只有或只有，则称为左逆元或右逆元。

　　例如：普通加法运算在上有幺元，仅在上任意元素有逆元，满足，在上只有有逆元，而其它的自然数就没有逆元。在上矩阵的乘法只有可逆矩阵存在逆元。幂集上关于运算有幺元，但除了外，其余元素都没有逆元。

　　例5、判断普通的加法和乘法运算在下列集合中是否二元运算。

　　(1)

　　(2)

　　(3)

　　(4)

　　(5)

　　解：(1) 因，，所以关于加法，乘法运算不封闭，不是二元运算。

　　(2) 因，故关于加法运算不封闭，不是二元运算。而，，，，故关于乘法运算封闭，是二元运算。

　　(3) 因是偶数，是全体偶数的集合，而偶数偶数，偶数偶数都是偶数，故加法，乘法都是二元运算。

　　(4) 是全体奇数的集合，因奇数奇数偶数，故加法不是二元运算，奇数奇数奇数，故乘法是二元运算。

　　(5) 因，但，故加法不是二元运算，又因，故乘法是二元运算。

　　例6、在实数集上定义运算如下：，

　　　。

　　(1) 是上的二元运算吗？

　　(2) 在上满足交换律，结合律吗？

　　(3) 关于有幺元吗?

　　(4) 关于每个元素有逆元吗？

　　解：(1) 因，是二元运算。

　　(2) 因，满足交换律，

　　　，满足结合律。

　　(3) 因对，，故为幺元。

　　(4) 且，有，故时，，时，无逆元。

　　例7、设，二元运算和如下表定义，问运算和是否可交换的；是否有零元；是否有幺元；如果有幺元，指出哪些元素有逆元；逆元是什么？
　　　　　　　　表（1）

　　　　　　　　表（2）

　　解：(1) 运算可交换，没有零元，是幺元，都有逆元，且，，互为逆元。

　　(2) 运算不可交换，是左零元，是幺元，只有有逆元，，由于，故是的左逆元，是的右逆元，但它们的逆元都不存在。

四、其它一些运算律和特殊元素。1、设和都是上的可交换的二元运算，若，

　　则称和满足吸收律。

2、设是上的二元关系，若 ( 不是零元)

　　满足：(1) 若，则，

　　　　　(2) 若，则，

　　就称运算满足消去律。

3、幂等元。设为上的二元运算，对，若，则称为幂等元。若上所有元素都是幂等元，则称运算满足幂等律。

　　例如：上的运算和，全体命题公式集合上的运算和，都满足吸收律，又分别满足幂等律，但都不满足消去律 (如，不一定有 )。上的加法运算都不满足幂等律，但它们都有幂等元，幺元就是幂等元。

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