代数系统及其子代数和积代数
重点:掌握代数系统,子代数的有关概念。
1、定义:非空集合 和 上的 个运算 (其中 为 元运算, )组成的系统称为一个代数系统,简称代数,记作 。
例如: , , , , 都是代数系统。
2、代数常数 (特异元素)。
在某些代数系统中对于给定的二元运算存在幺元或零元,它们对该系统的性质起着重要作用,称为代数常数(特异元素)。
例如: 的幺元 ,也可记为 , 中 和 的幺元分别为 和 ,同样可记为 。
1、定义:设 是代数系统, 且 ,若 对运算 都是封闭的,且 和 含有相同的代数常数,则称 为 的子代数系统,简称子代数。
例如: 是 的子代数, 是 的子代数,但 是 的子代数,却不是 的子代数,因代数常数 。
2、平凡子代数,真子代数。
设 是代数系统 的子代数,当 和 时,称为平凡子代数 (分别是最大和最小的子代数),当 时,称 为 的真子代数。
例1、设 ,令
, 为自然数,
那么 是 的子代数。
证明: , ,则
,
即 对 封闭,又 ,所以 是 的子代数。
当 时, ,当 时, ,它们是 的平凡子代数,而其它的子代数都是 的非平凡的真子代数。
设 , 是代数系统,其中 和 是二元运算,
令 ,对 ,
则 为代数系统,称为 的积代数。
例如: , , 和 的积代数为 ,其中运算 为二元运算,对 ,
有代数常数 , 有代数常数 ,则
有代数常数
。