代数系统及其子代数和积代数
重点：掌握代数系统，子代数的有关概念。
1、定义：非空集合 
和
上的 
个运算 
(其中 
为 
元运算， 
)组成的系统称为一个代数系统，简称代数，记作
。
例如： 
， 
， 
， 
， 
都是代数系统。
2、代数常数 (特异元素)。
在某些代数系统中对于给定的二元运算存在幺元或零元，它们对该系统的性质起着重要作用，称为代数常数(特异元素)。
例如： 
的幺元 
，也可记为 
，
中 
和 
的幺元分别为 
和
，同样可记为 
。
1、定义：设 
是代数系统， 
且 
，若 
对运算
都是封闭的，且
和
含有相同的代数常数，则称 
为 
的子代数系统，简称子代数。
例如：
是
的子代数， 
是
的子代数，但 
是
的子代数，却不是
的子代数，因代数常数 
。
2、平凡子代数，真子代数。
设 
是代数系统 的子代数，当
和 
时，称为平凡子代数 (分别是最大和最小的子代数)，当 
时，称 
为
的真子代数。
例1、设 
，令
， 
为自然数，
那么 
是
的子代数。
证明：
， 
，则
，
即 
对 
封闭，又 
，所以
是
的子代数。
当 
时， 
，当 
时， 
，它们是
的平凡子代数，而其它的子代数都是 的非平凡的真子代数。
设 
， 
是代数系统，其中 
和 
是二元运算，
令 
，对 
，
则 
为代数系统，称为 
的积代数。
例如： 
， 
， 
和 
的积代数为 
，其中运算 为二元运算，对
， 
有代数常数
，
有代数常数
，则
有代数常数
。