几个典型的代数系统

重点：

1、半群，可交换半群，独异点的定义，

2、群，交换群 (阿贝尔群)的定义及性质，

3、群的阶的定义，

4、循环群，生成元的定义及例子，

5、子群的定义及判定。

一、半群

1、定义：满足结合律的代数系统称为半群。

　　例1、(1) ，，，，都是半群。

　　　(2) 是半群。

　　　(3) 是半群，其中表示集合的对称差运算。

　　　(4) 是半群，其中，表示模的加法。

　　可交换半群：运算可交换的半群。

2、独异点 (含幺半群)：含有幺元的半群，记作。

　　如例1中除了不是独异点外，其余的均是独异点，分别记作，，，，，，。

3、半群中元素幂。

　　由于半群中的运算是可结合的，可以定义运算的幂，，指的是：

　　 ( 为正整数)

　　特别地，为独异点时，。

　　易证的幂遵从以下规律：

　　 ( 为非负整数)

4、子半群。

　　半群的子代数叫子半群，独异点的子代数叫子独异点。

例如：，都是的子半群，且是的子独异点。

二、群

1、定义。代数系统满足：①结合律，②有幺元，③任意元有逆元，则称为群。

　　例2、(1) ，，都是群，因任意元素的逆元存在，而，不是群，没有幺元，除外，其余元素都没有逆元。

　　　(2) 不是群，因不是所有的阶矩阵都可逆。

　　　(3) 是群，为幺元，，

　　　(4) 是群，为幺元，，

2、交换群 (也称阿贝尔群)。

　　交换群：满足交换律的群。如例2中的，，，，都是阿贝尔群。

　　例3、四元群。

　　，运算由下表给出：

　　可以看出：(1) 为幺元，(2) 是可交换的，(3) 任何元素的逆元就是本身，(4) 三个元素中，任何两个元素的运算结果都等于另一个元素。

　　四元群也是一个阿贝尔群。

3、群的阶。

　　有限群 的阶—— 中元素的个数，记。

　　例如：的阶为，四元群的阶为4。

4、群中元素的幂。

　　对于群，任意元素均有逆元，，，定义

　　则可以把独异点中的关于的定义扩充为：

　　 ( 为非负整数)

　　 ( 为正整数)

　　有关幂的两个公式：，

5、群中元素的阶 (或周期)。

　　群中元素的阶——使成立的最小正整数。

　　例如：四元群中，的阶都是，记，的阶为，记。

　　例4、，求模的加群中各元素的阶。

　　解：因，即，所以。

　　　　同理可得：，，，，。

6、群的性质。

　　(1) ，，。

　　(2) 若，则中无零元。

　　(3) 中消去律成立，即：

　　　若，则，

　　　若，则。

　　(4) 幺元是群中唯一的幂等元。

　　(5) ，方程和在中有唯一解。

　　(6) 有限群的运算表中，每一行 (每一列)都是中元素的一个排列。不同行 (列)的排列不同。

　　例5、证明是阿贝尔群当且仅当对，。

　　证明：设为阿贝尔群，则，有，

　　故。

　　反之，设，，即，

　　即，由消去律，得，故为阿贝尔群。

　　例6、如果中的每一个元素都满足，则是阿贝尔群。

　　证明： ，由题设知，，，，

　　从而，，

　　所以是阿贝尔群。

　　例7、设群不是阿贝尔群，则中存在两个非幺元的元素，，使得。

　　证明：(1) 先证存在，使。事实上，若，都有，即，由例6知，是阿贝尔群，与题设矛盾。

　　(2) 再证结论成立。

　　设，，令，则非幺元，且，但。

三、子群

1、定义：设群，是的非空子集，若为群，则称为的子群，记作。

　　例8、(1) 群，令，则是的子群，同样，也是的子群。

　　(2) 四元群，有个子群

，，，，

　　其中和是平凡子群，其余均为真子群。

2、判定。

　　定理：设为群，是的非空子集，若对任意，都有，则是的子群。

　　例9、设和都是群的子群，证明也是的子群。

　　证明：(1) 先证非空。因为的子群，故，，从而，因此，非空。

　　(2) ，则且，因和都是的子群，故，，从而，由判定定理知，为的子群。

　　思考：若，为群的子群，问是的子群吗？

3、生成子群，中心。

　　(1)生成子群：设为群，，记，称为由元素 生成的子群。

　　例10、，群中由生成的子群

　　　，

　　同理，，

　　　，

　　(2) 中心：设为群，记，称为群的中心。

　　的中心即与中所有元素都可交换的元素构成的集合，它是的子群。

四、循环群

1、定义。

　　群中若存在使得，则称为循环群，记，称为的生成元。

　　在循环群中，生成元的阶与群的阶一样。

　　循环群都是阿贝尔群。

　　循环群的子群都是循环群。

2、循环群的典型例子。

　　例11、是循环群，其生成元为和，因为任何整数都可由若干个或者若干个相加而得到。

　　是无限阶循环群，其子群除了外都是无限阶循环群，如，其中。

　　例12、是阶循环群，，中与互质的数均可作为生成元。

　　阶循环群的子群的阶都是的正因子，对于的每个正因子，在中只有一个阶子群，就是由生成的子群。

　　如：，其生成元有 (均与互质)。

　　　即。

　　的正因子有，则的子群有：

　　阶子群