几个典型的代数系统
重点:
1、半群,可交换半群,独异点的定义,
2、群,交换群 (阿贝尔群)的定义及性质,
3、群的阶的定义,
4、循环群,生成元的定义及例子,
5、子群的定义及判定。
1、定义:满足结合律的代数系统
称为半群。
例1、(1) ,
,
,
,
都是半群。
(2)
是半群。
(3)
是半群,其中
表示集合的对称差运算。
(4)
是半群,其中
,
表示模
的加法。
可交换半群:运算可交换的半群。
2、独异点
(含幺半群):含有幺元的半群,记作 。
如例1中除了
不是独异点外,其余的均是独异点,分别记作
,
,
,
,
,
,
。
3、半群中元素幂
。
由于半群
中的运算
是可结合的,可以定义运算的幂,
,
指的是:
(
为正整数)
特别地,
为独异点时,
。
易证
的幂遵从以下规律:
(
为非负整数)
4、子半群。
半群的子代数叫子半群,独异点的子代数叫子独异点。
例如:
,
都是
的子半群,且
是
的子独异点。
1、定义。代数系统
满足:①结合律,②有幺元,③任意元有逆元,则称
为群。
例2、(1) ,
,
都是群,因任意元素
的逆元
存在,而
,
不是群,
没有幺元,
除
外,其余元素都没有逆元。
(2)
不是群,因不是所有的
阶矩阵都可逆。
(3)
是群,
为幺元,
,
(4)
是群,
为幺元,
,
2、交换群 (也称阿贝尔
群)。
交换群:满足交换律的群。如例2中的
,
,
,
,
都是阿贝尔群。
例3、 四元群。
,运算
由下表给出:
|
可以看出:(1)
为幺元,(2)
是可交换的,(3) 任何元素的逆元就是本身,(4)
三个元素中,任何两个元素的运算结果都等于另一个元素。
四元群也是一个阿贝尔群。
3、群的阶。
有限群
的阶——
中元素的个数,记
。
例如:
的阶为
,
四元群的阶为4。
4、群中元素的幂
。
对于群
,任意元素均有逆元,
,
,定义
则可以把独异点中的关于 的定义扩充为:
(
为非负整数)
(
为正整数)
有关幂的两个公式: ,
5、群中元素
的阶 (或周期)。
群
中元素
的阶——使
成立的最小正整数
。
例如:
四元群中,
的阶都是
,记
,
的阶为
,记
。
例4、 ,求模
的加群
中各元素的阶。
解:因
,即
,所以
。
同理可得:
,
,
,
,
。
6、群的性质。
(1)
,
,
。
(2)
若
,则
中无零元。
(3)
中消去律成立,即:
若
,则
,
若
,则
。
(4) 幺元是群中唯一的幂等元。
(5)
,方程
和
在
中有唯一解。
(6)
有限群的运算表中,每一行
(每一列)都是
中元素的一个排列。不同行
(列)的排列不同。
例5、证明
是阿贝尔群当且仅当对
,
。
证明:设
为阿贝尔群,则
,有
,
故 。
反之,设
,
,即
,
即 ,由消去律,得
,故
为阿贝尔群。
例6、如果
中的每一个元素
都满足
,则
是阿贝尔群。
证明:
,由题设知,
,
,
,
从而, ,
所以
是阿贝尔群。
例7、设群
不是阿贝尔群,则
中存在两个非幺元的元素
,
,使得
。
证明:(1) 先证存在
,使
。事实上,若
,都有
,即
,由例6知,
是阿贝尔群,与题设矛盾。
(2) 再证结论成立。
设
,
,令
,则
非幺元,且
,但
。
1、定义:设群
,
是
的非空子集,若
为群,则称
为
的子群,记作
。
例8、(1) 群
,令
,则
是
的子群,同样,
也是
的子群。
(2)
四元群,
有
个子群
,
,
,
,
其中
和
是平凡子群,其余均为真子群。
2、判定。
定理:设
为群,
是
的非空子集,若对任意
,都有
,则
是
的子群。
例9、设
和
都是群
的子群,证明
也是
的子群。
证明:(1) 先证
非空。因
为
的子群,故
,
,从而
,因此,
非空。
(2)
,则
且
,因
和
都是
的子群,故
,
,从而
,由判定定理知,
为
的子群。
思考:若
,
为群
的子群,问
是
的子群吗?
3、生成子群,中心。
(1)生成子群:设
为群,
,记
,称为由元素
生成的子群。
例10、 ,群
中由
生成的子群
,
同理, ,
,
,
(2)
中心:设
为群,记
,称
为群
的中心。
的中心即与
中所有元素都可交换的元素构成的集合,它是
的子群。
1、定义。
群
中若存在
使得
,则称
为循环群,记
,称
为
的生成元。
在循环群
中,生成元
的阶与群
的阶一样。
循环群都是阿贝尔群。
循环群的子群都是循环群。
2、循环群的典型例子。
例11、 是循环群,其生成元为
和
,因为任何整数都可由若干个
或者若干个
相加而得到。
是无限阶循环群,其子群除了
外都是无限阶循环群,如
,其中
。
例12、 是
阶循环群,
,
中与
互质的数均可作为生成元。
阶循环群
的子群的阶都是
的正因子,对于
的每个正因子
,在
中只有一个
阶子群,就是由
生成的子群。
如: ,其生成元有
(均与
互质)。
即 。
的正因子有
,则
的子群有:
阶子群
阶子群
阶子群
阶子群
阶子群
阶子群