环与域
定义：设 
是代数系统， 
为集合， 
为二元运算，若
(1) 
为阿贝尔群，
(2) 
为半群，
(3)
乘法 
对加法 
适合分配律，
则称
是环。
例1、 
， 
， 都是环。
是环。
是模 
的整数环，
其中 
表示模
的加法和乘法， 
， 
。
定义：环 
满足：
(1) 
至少两个元素，
(2) 
含有幺元，
(3)
是可交换的，
(4)
除加法幺元 
外，其余元素均有逆元，
则称
为域。
例2、 ， 都是域，但 不是域，因为 
不是除 外，其余元素都有逆元。
不是域，因 
不是可交换的。
是域，但 
不是域 ( 
，但不存在乘法 
的逆元 
，使 
)
令 
，则 
为域。