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从欧几里得到微分几何

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2007-02-28, 01:14 PM	#7
cam 普通会员注册日期: 07-01 帖子: 44 精华: 2 现金: 206 标准币资产: 206 标准币	回复: 从欧几里得到微分几何聯絡、矢量叢、規範場論在黎曼幾何中，Levi-Civita 平行性是一個重要的觀念。Levi-Civita 以為在黎曼幾何（?V義相對論裡的其中一種，稱為勞�?�?幾何）都有一個很基本的性質，那就是平行性；在這個時候，空間不再是只用一個坐標系表示的空間，而是需要很多不同的坐標系才能表現的「流形」(manifold)，這樣又把幾何研究的空間推?V了。所以我常有個比喻，如果我們把幾何空間的推?V和人�?穿衣服的過程相對照，那麼一開始的歐幾里得幾何，便好比人在原始社會中沒有穿衣服，是裸體的；然後笛卡兒把坐標的概念加入了「赤裸」的空間，就好比人�?開始穿衣服；而到了流形的階段，就好比現代人，不只穿一件衣服，還要常常換。也許有些人不太能接受這樣「奇裝�?服」式的換坐標，但是沒有關係，?垡蛩固够似吣甑臅r間，才終於接受坐標可以轉換的概念，而能?莫M義相對論進展到?V義相對論。空間中有不同的坐標系，那麼麻煩就?砹耍驗閹缀蔚男再\|是和坐標系的選取有關，不過不要緊，只要我們能控制坐標變換的性質，使在變換前即有的性質，經過變換之後仍為我們所控制，那麼換坐標就沒關係了，這是近代幾何學比較困難的地方。用以表示流形的坐標系是任意的，因此可能是非線性的坐標，這在處理上就變得比較困難;但是我們可以取線性的空間去逼近流形。換句話說，雖然流形本身是非線性的，但在流形上的一點，都有一個和普通空間一樣的線性空間，即切空間。這些切空間之間原本是沒有關係的，而 Levi-Civita 平行性就是要建立二點之間的切空間的關係；之後，微分幾何學家發現，這個平行性是非常基本的性質。又因為拓樸學 (topology) 的發展，我們把這個觀念推?V了，不一定要談切空間，任意一個空間都可以，於是就有矢量叢 (vector bundles) 和聯絡 (connections) 的觀念。也就是說流形的切空間差不多是平的，但是矢量叢卻可以是一個豎起?淼目臻g，任何的矢量空間都可以，這是今天在幾何上大家所公認的一個基本結構。?睦杪鼛缀瓮�?V到有聯絡的矢量叢，這也就是物理上規範場論 (gauge field) 的數學基礎。

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