路与回路
重点:1、通路,回路,简单通路,回路,初级通路,回路的定义,
2、图的连通性的概念,
3、短程线,距离的概念。
1、通路
(回路)——
中顶点和边的交替序列
,其中
(无向图),或
(有向图),
——始点,
——终点,称
为
到
的通路。当
时,
为回路。
2、简单通路,简单回路。
简单通路
(迹)——通路中所有的边
互不相同。
简单回路
(闭迹)——回路中所有的边
互不相同。
复杂通路
(回路)——通路 (回路)中有边重复出现。
3、初级通路,初级回路。
初级通路
(路径)——通路中所有的顶点
互不相同。
初级回路
(圈)——回路中所有的顶点
互不相同。
由定义知:初级通路 (回路)简单通路 (回路),但反之不真。
4、通路,回路的长度——
中边的数目。
例1、
图(1)中,从到
的通路有:
长度3
长度6
长度6
…………
其中为初级通路,
为简单通路,
是复杂通路。
图(2)中过的回路 (从
到
)有:
长度3
长度4
长度7
…………
其中,为初级回路(圈),
为复杂回路。
5、图中最短的回路。
无向图中,环构成的回路长为 ,两平行边构成的回路长为
。
有向图中,环构成的回路长为 ,两条方向相反的边构成的回路长为
。
如图:
6、性质。
定理:在一个阶图中,若从顶点
到
存在通路
,则从
到
存在长度小于等于
的通路。
推论:在一个阶图中,若从顶点
到
存在通路
,则从
到
存在长度小于等于
的初级通路。
定理:在一个阶图中,若
到自身存在回路,则从
到自身存在长度小于等于
的回路。
推论:在一个阶图中,若
到自身存在一个简单回路,则从
到自身存在长度小于等于
的初级回路。
由以上定理可知,在阶图中,
1、连通,可达。
无向图中,从到
存在通路,称
到
是连通的(双向)。
有向图中,从到
存在通路,称
可达
。(注意方向)
不论无向图,有向图,规定 到自身都是连通或可达的。
2、短程线,距离。
若之间无通路(或不可达),规定
距离满足:
(1),
时,等号成立。
(2)
若是无向图,还具有对称性, 。
3、无向图的连通。
为连通图——
是平凡图,或
中任两点都是连通的。
为非连通图——
中至少有两点不连通。
设是一个无向图,
是
中顶点之间的连通关系,则
是等价关系。设
将
划分成
个等价类:
,由它们导出的子图
称为
的连通分支,其个数记为
。
4、有向图的连通。
强连通单向连通
弱连通
例2、
上图中,(1)为强连通,(2),(3)为单向连通,(4)为弱连通,(5)为非连通图。